WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

В. И. Лобанов, к. т. н.

РУССКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА

(азбука математической логики)

Москва

2008


Посвящается Русским инженерам и учёным, интеллектуальной элите России.

Аннотация

Данное пособие является общедоступным изложением основРусской, истинно математической логики. Вскрывая противостояние Русской и классической логики, автор показывает, что силлогистика Аристотеля не имеет никакого отношения к логике здравого смысла. Обучение классической логике не только бесполезно, но и преступно, поскольку уничтожается всякое мышление. Все существующие учебники логики невежественны, безграмотны и бестолковы. Предлагаемое издание полезно школьникам и академикам, инженерам и учёным, «физикам» и «лирикам».

Москва

2007 г.

©

.

УДК 621.3.049.77:681.518.3

УДК 681.32.001.2

УДК 161:162

ББК 87.4

Л..


ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый Читатель, книге, которую Вы держите в руках нет цены: всё, что за последние 120 лет вышло в свет по гуманитарной и математической логике – макулатура (за редчайшим исключением). Ценность предлагаемого Вам пособия определяется тем, что оно создано на основе работ величайшего в мире русского логика Платона Сергеевича Порецкого, впервые в истории построившего математическую силлогистику, о которой мечтал и над которой всю жизнь безуспешно работал великий математик Лейбниц. Основополагающий труд русского учёного вышел в 1884г [34], но до сих пор не освоен русскими логиками и математиками. О зарубежной науке говорить не приходится: она не разобралась даже в скромных результатах своего талантливого сказочника и логика Л.Кэрролла, который повторил некоторые выводы Порецкого спустя 12 лет. Академический автор Галинская И.Л. в своей работе [7,с.1] утверждает, что «Символическая логика» впервые была издана в Англии в 1896г. Именно в этой работе Кэрролл повторил формулы Порецкого для общеутвердительных и общеотрицательных кванторов силлогистики.

Дорогой Читатель, знаете ли Вы математическую логику? Я абсолютно уверен, что не знаете. В этом Вы сразу же убедитесь, пройдя тестирование по нижеприведённому вопроснику.

Вопросник для математика и логика.

  1. Как работать с картой Карно на 8 и более переменных?
  2. Что такое метод обобщённых кодов Мавренкова?
  3. Что можно вычислить с помощью кванторного исчисления?
  4. Алгебра множеств и алгебра логики. Назовите различия.
  5. Логика предикатов и логика суждений. В чём разница?
  6. Физический смысл и вывод формулы импликации.
  7. Фигуры и модусы Аристотеля. В чём их практическая ценность?
  8. Правильны ли правила посылок в силлогистике?
  9. Как выглядят аналитические представления для Axy, Exy и Ixy?
  10. В чём смысл логики Платона Сергеевича Порецкого?
  11. В чём главное достижение логики Льюиса Кэрролла?
  12. Что такое вероятностная логика?
  13. Что такое 4-значная комплементарная логика?
  14. Как решаются логические уравнения?
  15. Что такое логическое вычитание и деление?
  16. Как найти обратную логическую функцию?

По характеру ответов можно судить о профессиональном уровне логика-гуманитария и тем более математика. В 2008г. с этими вопросами не могли справиться ни академики от логики, ни математики, ни инженеры-цифровики, что говорит не только о недостаточной профессиональной подготовке, но и о низком культурном уровне. Освоив Русскую логику, любой семиклассник легко пройдёт предложенное автором тестирование.

В 1938 г. русский физик В. И. Шестаков впервые в мире (за два года до Клода Шеннона) доказал возможность описания и преобразования релейно-контактных схем методами алгебры логики. C этого момента зарождается практическая логика. Поскольку практическая логика решала чисто инженерные задачи, то вполне естественно назвать эту логику инженерной. Эта наука профессионально решает такие проблемы, как графический и аналитический синтез комбинационных схем (многоаргументные методы минимизации логических функций), синтез микропрограммных автоматов (МПА) на базе интегральных, ламповых и релейных схем. К проблемам инженерной логики относится также создание искусственного интеллекта, фундаментом которого является силлогистика. Но классическая силлогистика совершенно беспомощна в решении поставленных перед нею задач.

В конце 1980х — начале 1990х годов руководимый мною отд.450 ЦНИИ «Циклон»(головной институт Минэлектронпрома СССР) имел тесные контакты с проблемной лабораторией ЭВМ МГУ, возглавляемой талантливым русским инженером и учёным Н.П.Брусенцовым. Именно ему и его сподвижникам удалось создать и запустить в производство троичную ЭВМ "Сетунь" и "Сетунь-70", чего до сих пор не смогла сделать ни одна держава в мире несмотря на все их титанические усилия. Это именно он и его ученики разработали Диалоговую систему структурированного программирования (ДССП) и Русский адаптивный язык РАЯ (по определению Ершова), являющиеся непревзойдёнными до сих пор эталонами дисциплины и языков программирования. На чествовании юбилея Н.П.Брусенцова 2.03.95г. я получил в подарок от юбиляра его только что изданную книгу «Начала информатики», которая и открыла передо мной проблемы классической логики. Поэтому я имею честь считать себя учеником Николая Петровича Брусенцова. Некоторые проблемы логики показались мне надуманными, превращёнными «из мухи в слона». Захотелось найти простое, прозрачное математическое решение высосанных из пальца проблем. Алгоритм решения логических уравнений удалось найти за 5 минут в присутствии Учителя. Смешно, принимаясь за эту проблему, я даже не знал, что такое «решить логическое уравнение». Но был абсолютно уверен, что справлюсь с этой задачкой за 5 минут: за плечами был 20-летний опыт «железных» оборонных разработок на основе инженерной логики. В течение месяца построена Русская логика, в которой была решена проблема силлогистики. Силлогистика – это раздел логики, занимающийся силлогизмами. А силлогизм – это умозаключение, состоящее из двух посылок, связанных общим термином, и следующего из них заключения. Пример такого силлогизма:

Все люди талантливы.

Все ученики – люди.

Все ученики талантливы.

В этом силлогизме заключение выводится просто. Но подавляющее большинство силлогизмов, встречающихся в быту, в любой из наук, «физической» или «лирической», не имеют такого прозрачного решения. А потому и не решаются современной мировой логикой.

В 1997г. я уже излагал Русскую логику студентам и школьникам. Поскольку все алгоритмы чрезвычайно просты, то учащиеся осваивали новую логику (логику нового тысячелетия) довольно успешно.

В Русской логике решены проблемы Аристотеля и Лейбница, их мечты реализованы в России. С 1998г Русская логика прошла проверку на различных конференциях, конгрессах, в том числе и международных, симпозиумах и семинарах. Самой серьёзной проверкой автор считал и считает проверку на лекциях и уроках студентами и школьниками: это самые дотошные и любознательные критики в отличие от официозных «учёных». Лекции и занятия автор проводил только по совместительству, в свободное от основной работы время: 1) без работы по основной профессии теряешь квалификацию, 2) штатному преподавателю внедрять новую науку весьма сложно.

Положительными отзывами заполнен Интернет: я получал письма со всех концов бывшего Союза. Мои лекции по Русской логике были записаны в декабре 2007г на телестудии Современной Гуманитарной Академии(Москва) и в 2008 году транслировались на весь бывший Советский Союз по каналу СГУ ТВ спутникового телевидения. Основные работы автора переведены в США. Очень не хотелось бы, чтобы Русская логика вернулась к нам в зарубежной упаковке. Основания для таких опасений более чем весомые. Ни для кого не секрет, что среди западных учёных очень много невежественных жуликов и мошенников. Начнём с Эйнштейна, которого выгнали из гимназии за бестолковость, от невежества которого в институте стонали профессора математики и который обокрал не только французского физика Пуанкаре и голландского физика Лоренца, но и свою жену-славянку. Такое же интеллектуальное воровство, плагиат, допустил Винер - «отец кибернетики» по отношению к русскому учёному Колмогорову. Кстати, на встрече со студентами МГУ Винер в присутствии Колмогорова признал приоритет советской науки. Лампа русского физика Лодыгина стала называться лампой Эдисона, теорема советского учёного Котельникова теперь упоминается только как закон Найквиста, радио русского исследователя Попова превратилось в радио Маркони, «отцом информатики» вместо русского физика В.И.Шестакова называют Клода Шеннона. Примеры жуликоватости, безграмотности, невежества и бестолковости западных «учёных» можно множить до бесконечности (см., например, моё математическое доказательство бестолковости и невежества нобелевского лауреата Б.Рассела).

До сих пор никто из официальной профессуры не понял гениальных работ выдающегося русского учёного Порецкого П.С. Именно он предвосхитил создание истинно математической силлогистики. Позже к аналогичным результатам в силлогистике пришёл Л. Кэрролл: он получил такие же математические выражения для кванторов "Все х суть y" и "Ни один х не есть y". Хотя уровень достижений Л.Кэрролла значительно ниже уровня результатов П.С.Порецкого, но даже относительно простых работ английского математика и сказочника никто не понял ни в России, ни за рубежом. Пусть Порецкий и Кэрролл не сумели решить всех проблем Аристотеля и Лейбница, но они заложили прочный аналитический фундамент, который так и не был в течение 120 лет востребован классической логикой из-за невежества "так называемых логиков". Я думаю, что саркастическое отношение Л. Кэрролла к "логикам" можно смело перенести на наших современников, которые до сих пор не сумели разобраться в достижениях своих великих предшественников. В море макулатуры, издаваемой сегодня по логике, лишь работы Брусенцова Н.П., Катречко С. Л., Кузичева А.С. и Светлова В.А. заслуживают внимания.

Все современные учебники логики невежественны, безграмотны и бестолковы. До сих пор никто из официальных логиков не принял мой вызов, не защитил честь официозной науки. Преподавание логики (основных её разделов) ведётся невежественно, как и 25 веков тому назад. Можно констатировать тот факт, что официальная наука встала железобетонной стеной на пути Русской логики. Подавляющее большинство (вполне возможно, что даже все без исключения) официальных учёных не приемлет Русскую логику. Истина определяется не большинством голосов, но эти голоса обрекают отечественную логику на плачевное дремотное состояние, а студентов и школьников на унылую и бестолковую зубрёжку. За 10 лет автору не известен ни один случай внедрения Русской логики в образование другими педагогами. Но и критики не существует: никто не рискует защитить честь математического мундира. Буду признателен за любые критические замечания по существу Русской логики.

Почему-то студенты и школьники на моих лекциях и уроках легко осваивали Русскую логику, а вот академики с нею никак не могут справиться. Наверное, мне попадались глупые академики, поэтому ищу умных. В гуманитарной и тем более математической логике за последние 120 лет я умных академиков не заметил. Кстати, даже такие «корифеи» в логике, как акад. Колмогоров А.Н., проф. Садовничий (ректор МГУ), проф. Зиновьев А.А., всякие расселы, заде, гёдели и чёрчи ни черта не поняли ни в работах гениального логика Порецкого П.С., ни в результатах, полученных Л.Кэрроллом. Если уж ты не способен создать что-либо стоящее в науке, то разберись вначале хотя бы с достижениями своих предшественников в данной области.

Никакое образование немыслимо без изучения логики. Этот предмет в качестве основного впервые ввёл в гимназиях и Академии великий русский учёный М.В. Ломоносов. С тех пор логику в обязательном порядке изучали в гимназиях России и по указанию Сталина в 1946 – 1957 гг.(после смерти Сталина с 1953г. по 1957г. – по «инерции») в школах СССР. В связи с этим поразительна безграмотность современных матлогиков:

  • «изобретено» кванторное исчисление, которое ровным счётом ничего не исчисляет, т.к. является просто мнемоникой (один идиот от математики придумал, а миллионы попугаев повторяют);
  • «придумана» алгебра множеств, с задачами которой прекрасно справляется алгебра логики (бестолковость математиков);
  • единая математическая логика расчленена на логику суждений и логику предикатов с бесполезными субъектами, предикатами, фигурами и модусами, с некорректными правилами посылок и прочей наукообразной зубрёжной чепухой (бестолковость и неграмотность);
  • доктора физматнаук и даже инженеры-цифровики не знают математической логики и бравируют своим невежеством (невежество и безграмотность);
  • ни один логик не сумеет аналитически доказать и объяснить, почему (x y) = x’+y – здесь и далее апостроф означает отрицание (неграмотность и бестолковость);
  • ни один математик не умеет аналитически представить общеутвердительный, общеотрицательный и частноутвердительный функторы (невежество);
  • более 120 лет математики и логики не могут освоить результатов П.С. Порецкого и Л. Кэрролла (невежество и бестолковость);
  • ни один академик не умеет решать задачи силлогистики;
  • математики не умеют мыслить (см. сайты с моими публикациями).

Логика дисциплинирует мышление. Ещё Гераклит говорил, что учить нужно многомыслию, а не многознанию. Не путайте Божий дар с яичницей: телевизионные «знатоки» - это не мыслители, они зарабатывают деньги не «своим собственным умом», а совсем другим местом. Все «интеллектуальные игры» на телевидении – это проверка «мартышек с арифмометром». Если немного подумать, то к этому же разряду можно отнести шахматистов и программистов. ЭВМ уже обыгрывает чемпионов мира по шахматам. Значит, шахматист – это просто калькулятор, а программист – толмач, переводчик с одного языка на другой. Но переводчик Пастернак далеко не поэт Пушкин. Эвристика, мышление – прерогатива человека, а ЭВМ пока ещё не умеет мыслить, да и вряд ли научится. Автор – программист с 35-летним стажем, но уже более 30 лет считает, что уметь программировать необходимо, но лучше всегда эту работу поручать кому-либо другому. То же самое можно сказать и о микропрограммировании, т.е. схемотехническом проектировании цифровых устройств. К сожалению, этими дисциплинами приходится заниматься всё больше и больше. Творчество доступно и грузчику, и таксисту, но о серьёзном творчестве и серьёзном мышлении может идти речь лишь в фундаментальных науках, базирующихся на математике.

Над проблемой формализации мышления ВСЁ ЧЕЛОВЕЧЕСТВО (и «физики», и «лирики») трудилось 25 веков. И тем не менее классическая логика, которую изучают во всём мире, вопиюще безграмотна и дремуче невежественна. С задачей формализации, чётко поставленной Лейбницем, справляется только Русская логика.

Если вы устали от зубрёжки силлогистики Аристотеля, хотите чуточку поумнеть и превзойти в логике П.С. Порецкого, Л. Кэрролла, Дж. Буля и Лейбница, если вас интересует истинно математическая, понятная школьнику логика здравого смысла, то осваивайте эту науку по следующим источникам:

  1. Сайты в Internet: http://ruslogic.narod.ru, http://naztech.org/lobanov, http://matema.narod.ru/newpage113.htm, http://www.mirit.narod.ru/zerkalo.htm, http://ito.edu.ru/, http://www.trinitas.ru, http://lord-n.narod.ru/walla.html/Книги и софт с Walla.com и др.
  2. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001 – 192с.
  3. Лобанов В.И. Русская логика против классической (азбука математический логики). – М.: Компания Спутник+, 2002 – 126с.
  4. Лобанов В.И. Решебник по Русской логике. – М.: Компания Спутник+, 2002 – 133с.
  5. Лобанов В.И. Русская логика – это очень просто! – М.: Русская Правда, 2006 – 32с.
  6. Лобанов В.И. Русская вероятностная логика для школьников и умных академиков). – М.: 2008 – 33 с.
  7. Лобанов В.И. Русская логика для «физиков» и «лириков». – М.: Спутник+, 2005 – 427с.

В этом перечне только первый сайт является авторским, все остальные созданы профессионалами-единомышленниками, оценившими значение Русской логики и разместившими математическую логику России на своих страницах. Я чрезвычайно признателен за это патриотам русской науки. Почти все мои книги и многие статьи выложены в открытом доступе на указанных сайтах. Последняя книга в этом перечне написана в основном для инженеров. Их безграмотность в инженерных методах разработки, контроля и диагностики цифровых устройств, а также в программировании и микропрограммировании удручает. Не говоря уже о логической безграмотности.

Автор до сих пор занимается разработками электронных цифровых устройств оборонного назначения. Накопленный опыт позволяет утверждать, что формальные и инженерные методы проектирования цифровых устройств легко осваиваются семиклассниками. Поэтому выпускники средних школ, освоившие «Русскую логику» и «Азбуку разработчика цифровых устройств»[29, 26] могут сразу приступить к работе на инженерных должностях. Это чрезвычайно актуально в связи с переходом на «болонкино образование»(Болонская конвенция), гуманитаризацией и вымыванием математики из программы обучения. Но так называемые «гуманитарные науки» в большинстве своём представляют собой «не замутнённый интеллектом поток сознания с очень специфическим подходом» (Андрей Борцов. «Дебилизаторы подрастающего поколения»//«Знание – власть!», №41(310), ноябрь,2006). Дело в том, что любой гуманитарий безоговорочно верит в авторитеты, а значит, перестаёт мыслить. Математик постоянно думает, анализирует. Для него только истина является авторитетом. России нужны не болтуны и спекулянты, не жулики и ростовщики, не «смехачи» и поп-звёзды, не «эффективные менеджеры» и толпы бухгалтеров, а инженеры и учёные. Тот разгром нашей оборонной промышленности, науки, культуры и образования, который учинила «пятая колонна», является государственным преступлением и требует государственного вмешательства и огромных усилий всего общества (в первую очередь профессионалов старшего поколения, поскольку молодых нет и не предвидится в ближайшем будущем) по ликвидации катастрофических последствий.

Хочу заранее вызвать у читателей агрессивный настрой. Не верьте ни единому слову Русской логики, проверяйте, возражайте. Тем более, что мой учитель в науке о мышлении Николай Петрович Брусенцов категорически не согласен с Русской логикой. Вашего интеллекта и образования более чем достаточно, чтобы разоблачить автора. У меня семиклассники решали такие задачи по логике, с которыми не справится ни один инженер, ни один профессор, и уж тем более академик. Кроме того, помните, что все вы по определению безграмотны: не знаешь логики – невежда по критериям Русской гимназии и Древней Греции.

Дополнительно примите к сведению, что с точки зрения «логиков-профессионалов», автор Русской логики – дилетант, поскольку я действительно не изучал в институте логику Аристотеля. Пришлось изучить, чтобы уничтожить болтологику. Но стоит ли тратить время на то, что ещё 400 лет назад было разгромлено Френсисом Бэконом, что вызывало возмущение советского логика Васильева Н.А., что опроверг 120 лет назад величайший Русский логик Платон Сергеевич Порецкий и немного позже даже английский математик и сказочник Льюис Кэрролл. Поскольку до сих пор, вот уже более 30, лет я разрабатываю цифровые системы управления, в основном оборонного назначения, где всё построено на иженерной, т.е. строгой математической, логике, то у меня есть все основания считать всех логиков мира (и математиков, в первую очередь) за последние 120 лет дилетантами, невеждами, неучами, да ещё и бестолочью.

Такое утверждение звучит невежливо, но, во-первых, за 10 лет, прошедших с выхода в свет Русской логики, я исчерпал все дипломатические выражения и называю вещи своими именами. Во-вторых, «вежливость – любимая добродетель убогих…последнее прибежище бестолочей» (Диана Сеттерфилд «Тринадцатая сказка»).

Автору неоднократно «советовали» назвать вновь открытую науку «Логикой Лобанова», в частности секретарь Комитета по обороне Госдумы РФ Симкин Владимир Соломонович считал, что логику с таким русским названием никто изучать не будет. Как это русские «фашисты», «пьяницы» и «быдло» (по определению наших «любимых» косноязычных СМИ) смогли создать математическую логику?!

Я не имел морального права на такое «увековечивание» своего имени по чисто этическим и патриотическим соображениям. Поскольку вновь созданная логика опирается в основном на работы русских логиков Давыдова И.И.(1794-1863),Владиславлева М.И.(1840-1890), Порецкого П.С.(1846-1907), Введенского А.И.(1856-1925), Лосского Н.О.(1870-1965), Поварнина С.И.(1870-1952), Васильева Н.А.(1880-1940), Брусенцова Н.П., Кузичева А.С. и др., то автор назвал её Русской логикой.. Я не имел права на «Логику Лобанова» также и потому, что это не лично моя заслуга, а свойство Русского менталитета, Русского языка. В прекрасной и глубоко познавательной книге В.А. Истархова «Удар Русских Богов» (М.: Русская Правда»,2007 – 416с.) на стр.363 приводится фундаментальное высказывание: «Чем примитивнее язык, тем примитивнее мышление человека…». Наш родной Русский язык самый богатый и мощный в мире. Поэтому русским легче было создать истинно математическую логику, и, видимо, именно поэтому только русскими учеными и инженерами была решена эта многовековая проблема.

Кроме того, существуют логика Пор-Рояля (захудалый монастырь во Франции), «новейшая английская логика» (Льар Л. «Английские реформаторы логики») и польская инверсная запись в программировании, но никого это не смущает. А вот Русская логика застряла у русофобов, как кость в горле. К тому же Ф.М.Достоевский всегда говорил о национальном характере науки. В последнее время появилась «Русская механика» А.Ф.Черняева (М.:2001 – 592с.), т.е. ряды Русских наук пополняются.

Ну и в конце концов, нужно как-то различать болтологику (официальную классическую логику) и истинно математическую логику (Русскую).

В процессе освоения Русской логики читателю станет ясно, что нет логики суждений и логики предикатов, а есть просто логика. Однако автор сохранил традиционное разделение, чтобы не создавать психологического барьера. О вероятностном характере всей силлогистики автор впервые сказал в «Русской логике для школьников (и академиков)». Поэтому некоторые примеры в силлогистике требуют уточнения в постановке задач: необходимо оговорить мощность всех терминов-множеств. Однако главный, мыслительный, аспект этих примеров не утрачен.

Автор рекомендует к обязательному изучению главу 1 из части 1 и главы 9, 10, 11 из части 2. Главы 1 - 8 из части 2 – дань традициям классической логики в отыскании интегрированных заключений в силлогизмах. Для искусственного интеллекта(ИИ) такие выводы ничего не значат: нужна чёткая количественная оценка каждого варианта заключения. Поэтому только вероятностная логика будет приемлема для ИИ. Пропущенные разделы есть смысл просмотреть хотя бы «по диагонали», поскольку там излагаются методы и алгоритмы, не известные современной матлогике, приводится критический анализ невежества и безграмотности «логиков» 20-го и 21-го столетий.

Автор родился и вырос в Осташкове, родине Леонтия Филипповича Магницкого, основателя Российской математики, на берегу озера Селигер. Поэтому он не мог не упомянуть этого города и самого озера хотя бы в названиях алгоритмов. Замысел книги родился благодаря зав. проблемной лаб. ЭВМ МГУ Брусенцову Н.П., ознакомившему автора с проблемами современной логики. Русская логика была впервые внедрена в Тушинском вечернем авиационном техникуме (ТВАТ). Автор выражает свою глубокую признательность директору ТВАТ Немченко Т.П. и завучу Волковой Е.И., оказавших большое содействие в организации учебного процесса.


«…И может собственных Платонов

И быстрых разумом Невтонов

Российская земля рождать. »

М.В.Ломоносов.

ЧАСТЬ 1

Инженерная логика.

Глава первая

КОМБИНАЦИОННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

1.1 Основные положения алгебры логики

Анализ и синтез логических схем осуществляется на базе аппарата алгебры логики или булевой алгебры [26]. Излагать весь аппарат не имеет смысла, так как в инженерной практике используются два-три закона алгебры логики.

В алгебре логики переменные могут принимать только два значения, 0 или 1. Для двух аргументов существуют 16 логических функций (операций, логических действий). Над переменными в основном производятся три логических действия: сложение, умножение, отрицание (инверсия), что соответствует функциям ИЛИ, И, НЕ. Все функции в булевой алгебре могут быть описаны с помощью таблицы истинности. В нижеследующих таблицах описаны функции И(f1), ИЛИ(f2),НЕ(f3).

Вместо функции И часто используется термин «конъюнкция», вместо функции ИЛИ - термин «дизъюнкция». Вместо функции НЕ употребляется термин «инверсия» или «отрицание». Для двоичной логики понятия «инверсия» и «отрицание» эквивалентны, но для многозначной дело обстоит иначе. По ЕСКД логические элементы, реализующие функции И(f1), ИЛИ(f2), НЕ(f3), изображаются так, как представлено на рисунке.

При написании логических формул для функции И используются следующие знаки : &,, точка или ее отсутствие; для функции ИЛИ - V,+. Функция НЕ обозначается штрихом над аргументом.Мы для обозначения отрицания будем использовать апостроф. Таким образом, можно записать:

f1 = x2&x1 = x2 x1 = x2x1

f2 = x2 V x1 = x2+x1

f3 = x’

Основные законы алгебры Буля.

Прежде, чем приступить к изложению основных законов алгебры логики, зафиксируем некоторые очевидные её положения.

1 + a = 1; 0 + a = a; a & 1 = a; a & 0 = 0; a + a’ = 1.

Эти соотношения легко проверяются подстановкой.

Как уже отмечалось, в булевой алгебре все операции осуществляются с логическими переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем некоторые из них.

а) Переместительный закон

а + в = в + а ; ав = ва

б) Сочетательный закон

( а + в ) + с = а + ( в + с) ; ( ав )с = а(вс)

в) Распределительный закон

а( в + с ) = ав + ас ; а + вс = (а + в)( а + с )

г) Закон поглощения

а + ав = а( 1 + в ) = а ; а( а + в ) = а + ав = а

д) Закон склеивания

ав + ав’ = а ; ( а + в )(а + в’) = а

е) Идемпотентный закон

a + a = a; a & a = a

ё) Правила де Моргана

Эти правила справедливы для любого числа аргументов.

а + в + с +.... + z = ( а’в’с’...z’ )’

авс... = ( а’ + в’ + с’ +... + z’ )’

Эти правила можно описать таким алгоритмом.

Для перехода от логической суммы к логическому произведению необходимо проделать следующие операции :

1) проинвертировать все слагаемые в отдельности;

2) заменить знаки дизъюнкции на знаки конъюнкции;

3) проинвертировать получившееся выражение.

Аналогично выполняется переход от логического произведения к логической сумме. В инженерной практике используются лишь правила де Моргана и закон склеивания (в виде карт Карно).

Кроме основных функций И, ИЛИ, НЕ в алгебре логики часто используются функции равнозначности (эквивалентности) и неравнозначности (сумма по модулю 2 ).

Для обозначения этих функций используются следующие знаки : равнозначность - ~, сумма по модулю 2 -. Содержание этих функций отражено в таблице.

Из таблицы получаем:

f4 = а ~ в = а’в’ + ав

f5 = a в = а’в + ав’

Из таблицы видно, что

f4 = f5’ или f5 = f4’

Таким образом,

а’в’ + ав = ( ав’ + а’в )’, или

а~в = ( а в )’, а в = (а~в)’

Особое место в алгебре логики занимает функция импликации: ab = a’+b. Физический смысл этого соотношения не может объяснить ни один академик. Он будет разъяснен в разделе «Базисы силлогистики».

1.2 Алгебра множеств.

Обычно множества изображаются в виде окружностей, эллипсов, прямоугольников, квадратов и других фигур. Однако переход от двумерности к одномерности, т.е. к скалярным диаграммам, позволяет существенно расширить возможности анализа и синтеза в алгебре множеств. Попробуем доказать идентичность функций и законов в алгебре логики и алгебре множеств.

Полная система булевских функций(z0 – z15) для двух аргументов(x,y) показана в таблице.

Эти функции для алгебры множеств можно представить с помощью скалярных диаграмм, которые предложены автором в качестве основного инструмента алгебры множеств. Здесь и далее в том случае, если аргумент или функция равны нулю, то они изображается тонкой линией, в противном случае – толстой.

Все вышеперечисленные законы булевой алгебры легко и просто доказываются с помощью алгебры множеств. Приведем, к примеру, графическое доказательство правила де Моргана для двух аргументов x+y = (x’y’)’.

Из скалярных диаграмм видно, что x+y = (x’y’)’. Далее будет показано, что минимизация функций в алгебре множеств не отличается от минимизации логических функций в алгебре логики. Таким образом, мы доказали, что алгебра логики и алгебра множеств идентичны.

В этом доказательстве не было никакой необходимости, поскольку аргументами в логике могут быть как отдельные переменные, так и множества. Следовательно, алгебра логики и алгебра множеств – синонимы.Создатель «алгебры множеств» и его последователи – невежды и бестолочи.

1.3. Синтез комбинационных схем

Синтез комбинационных схем можно проиллюстрировать решением простой задачи.

Задача 1.3.1.

Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется той группой, в которой оказался председатель приемной комиссии. Построить автомат для тайного голосования, обеспечивающий определение большинства голосов.

Решение.

Пусть f - функция большинства голосов. f = 1, если большинство членов комиссии проголосовало за приём абитуриента, и f = 0 в противном случае.

Обозначим через x4 голос председателя комиссии. Пусть x4 = 1, если председатель комиссии проголосовал за приём абитуриента. Аналогично представляются через x3, x2, x1 - голоса членов приёмной комиссии.

С учётом вышеуказанных допущений условие задачи можно однозначно представить в виде таблицы истинности.

Заполнение таблицы осуществляем с учётом того, что функция f является полностью определённой, т.е. она определена на всех возможных наборах переменных x1 - x4. Для n входных переменных существует N = 2n наборов переменных. В нашем примере N = 24 = 16 наборов.

Записывать эти наборы можно в любом порядке, но лучше в порядке возрастания двоичного кода.

Примечание. Здесь и далее под набором будем понимать конъюнкцию всех входных переменных. Существует множество научных определений для набора (конституента,терм,импликанта,минтерм и т.д.), но они только вносят путаницу.

Все наборы, на которых функция принимает значение 1, будем называть единичными, или рабочими. Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть нулевыми, или запрещенными.

Для того, чтобы по таблице истинности найти функцию f, достаточно выписать все единичные наборы и соединить их знаком дизъюнкции.

Таким образом,

f = x4’x3x2x1 + x4x3’x2’x1 + x4x3’x2x1’ + x4x3’x2x1 + x4x3x2’x1’ + x4x3x2’x1 + x4x3x2x1’ + x4x3x2x1

Полученная форма функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), так как каждое логическое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов.

Очевидно, применяя основные законы булевой алгебры, мы могли бы аналитически уменьшить сложность полученного выражения. Но это наихудший способ минимизации булевых функций. Покажем это на примере вышеописанного автомата для тайного голосования. Представим полученную функцию в виде логической суммы цифровых рабочих наборов и произведём группировку слагаемых с целью минимизации результата на основе законов склеивания и идемпотентности:

f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111 =

= (0111+1111)+(1001+1011)+(1010+1011)+(1100+1101)+(1110+1111) =

= -111+10-1+101-+110-+111- = -111+10-1+(101-+111-)+(110-+111-) =

= -111+10-1+1-1-+11-- = x3x2x1+ x4x3’x1+ x4x2+ x4x3.

Как мы потом увидим, результат минимизации должен быть компактнее. Но при аналитической минимизации придётся ввести неочевидную группировку: (1101+1111).

f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111 =

=(0111+1111)+(1001+1011)+(1010+1011)+(1100+1101)+(1110+1111)+(1101+1111).= -111+10-1+101-+110-+111-+11-1 = -111+(10-1+11-1)+(101-+111-)+(110-+111-) = -111+1--1+1-1-+11-- = x3x2x1+ x4x1+ x4x2+ x4x3 = x3x2x1+ x4 (x1+ x2+ x3).

После длинных и неочевидных группировок удалось, наконец, получить правильное решение в виде минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ). Даже для 4-х аргументов аналитический метод минимизации не рационален.

Однако не всегда исходное условие задано в виде таблицы истинности.

Задача 2.

Найти МДНФ функции, заданной в виде выражения:

M = (ax=bc)(bx=ac).

Решение.

Вначале необходимо выполнить операцию логического умножения, а затем преобразовать полученную ДНФ в СДНФ. Далее по СДНФ заполняется таблица истинности и следует традиционная минимизация с помощью карты Карно. Однако перемножать сложные выражения достаточно утомительно, поэтому заменим эту операцию сложением на основе формулы де Моргана. Получим:

M’ = (ax bc) + ( bx ac) = ab’x+ac’x+a’bc+bcx’+a’bx+bc’x+acx’+ab’c.

Мы получили ДНФ инверсии логической функции М. Теперь необходимо развернуть её в СДНФ. Выполняется эта процедура достаточно просто добавлением недостающей переменной (в данном случае домножением на (c+c’) или (b+b’):

ab’x = ab’x(c+c’) = ab’cx+ab’c’x = 1011+1001,

ac’x = ac’x(b+b’) = abc’x+ab’c’x = 1101+1001,

После занесения M’в карту Карно получим

M = a’b’+abcx+c’x’.

1.4.Минимизация полностью определённых булевых функций.

Существует несколько способов минимизации булевых функций. Прежде всего это метод Квайна-Мак-Класки, метод Блека-Порецкого и метод минимизации с помощью карт Карно или диаграмм Вейча [26, 27]. Здесь будет подробно излагаться метод карт Карно, как самый удобный метод, позволяющий быстро решать задачи минимизации булевых функций от достаточно большого числа аргументов (6-12). При этом получается минимальная форма в базисе И, ИЛИ, НЕ.

Существуют карты Карно на 2, 3, 4, 5 и 6 переменных[14,26]. Причем последние стали использоваться достаточно недавно. На рисунке представлены карты Карно для 2, 3, 4, 5 и 6 аргументов.

1.5.Карты Карно для 7, 8, 9 и 10 переменных.

Карты Карно позволяют решать задачу минимизации логических функций элегантно и просто. Карно был не только собразителен(кстати, за 30 лет я так и не нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия), но и,вероятно,весьма ленив: он считал, что его карты настолько прозрачны, что нет резона описывать алгоритм работы с ними (вполне возможно, что Карно и не представлял себе карт более, чем для 4-х переменных). Поэтому до сих пор неблагодарное человечество не научилось работать с этими картами. Алгоритм работы с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был разработан автором 30 лет назад, изложен в «Инженерных методах разработки цифровых устройств»(1977г.), «Русской логике для школьников» и «Русской логике против классической», а также на вышеназванных сайтах.

До сих пор сохранилось мнение, что карты Карно для 7-10 переменных являются труднообозримыми, поэтому ни в какой литературе,кроме [14], нельзя найти не только описания метода работы с картами Карно на большое количество переменных, но и самих карт. Этим же обстоятельством объясняется тот факт, что до недавнего времени в литературе редко встречались карты Карно даже для 6 переменных. Прежде,чем приступить к рассмотрению многоаргументных карт Карно,покажем на простых примерах, как осуществляется соседнее кодирование для произвольного числа переменных. Для одной переменной существует только соседнее кодирование, так как она кодируется нулём и единицей. Чтобы перейти к соседнему кодированию для двух переменных x2 и x1 предлагается следующая операцию. Напишем в один столбец коды для x1. Между нулём и единицей для столбца x1 проведём ось, которую назовём осью симметрии 1-го ранга.

Проведём под этим столбцом ось симметрии, которую в дальнейшем будем называть осью симметрии 2-го ранга, и продолжим столбец кодов для x1 симметрично относительно этой оси (симметрично относительно оси симметрии 2-го ранга разместятся и оси симметрии 1-го ранга).

Дополним одноразрядный код до двухразрядного, для чего выше оси симметрии впишем для x2 нули, а ниже - единицы.

Таким образом, мы осуществили соседнее кодирование для двух переменных. Чтобы построить соседние коды для трёх переменных, проведём под столбцами двухразрядных кодов ось симметрии 3-го ранга и продолжим эти столбцы вниз симметрично относительно оси 3-го ранга, т.е. осуществим симметричное отображение относительно оси 3-го ранга.

Дополним двухразрядные коды до трёхразорядных, вписав в третьем разряде нули выше оси Карно 3-го ранга и единицы ниже этой оси. Получим соседнее кодирование для трёх переменных.

Следовательно, для того, чтобы осуществить соседнее кодирование для (Р+1) переменных, если известно соседнее кодирование для Р переменных, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1) под столбцом известного Р-разрядного соседнего кодирования провести ось симметрии (Р+1)-го ранга ;

2) осуществить симметричное отображение относительно оси симметрии (Р+1) - ранга всех Р-разрядных кодов и осей симметрии всех рангов до ранга Р включительно ;

3) дополнить Р-разрядные коды слева одним разрядом, в котором записать 0 для всех кодов выше оси симметрии (Р+1)-го ранга и 1 для кодов, расположенных ниже оси симметрии (Р+1)-го ранга.

Соседнее кодирование карт Карно по вышеизложенному алгоритму производится как для вертикальных, так и для горизонтальных сторон карт. Примеры кодирования карт Карно приведены на рисунке. На нём стрелками обозначены оси симметрии, ранг которых отмечен цифрами, стоящими рядом со стрелками.

Покрытие всех единичных наборов булевой функции, размещённых в карте Карно, прямоугольниками Карно не вызывает затруднений, если функция зависит не более, чем от 6 переменных. Обозримость карт Карно для большего числа переменных усложняется, так как становится трудно определить, соответствует ли данная фигура покрытия понятию прямоугольника Карно. Определение достоверности прямоугольника Карно основано на принципе симметрии, значительно повышающем обозримость карт Карно, и осуществляется с помощью приводимого ниже алгоритма.

Алгоритм проверки достоверности прямоугольника Карно (ПК)

( принцип симметрии )

1. Если предполагаемый прямоугольник Карно (ППК) охватывает одну ось симметрии, либо не охватывает ни одной, то перейти к п.4.

2. Если ППК располагается по обе стороны от нескольких осей симметрии, то он должен быть симметричен относительно той из этих осей, которая имеет максимальный ранг, иначе данная фигура не является прямоугольником Карно.

3. Разбить исходный ППК пополам. Считать любую его половину новым ППК. Перейти к п.1.

4. Конец.

Этот алгоритм необходимо применить дважды : относительно горизонтальных и относительно вертикальных осей симметрии.

Проверим достоверность прямоугольника Карно А на вышеприведённом рисунке. Прямоугольник А размещается по обе стороны от горизонтальной оси 4-го ранга. Симметричность его очевидна. Верхняя половина фигуры А симметрична относительно горизонтальной оси симметрии 1-го ранга. Так как ППК охватывает одну единственную ось симметрии, то проверка фигуры покрытия А на соответствие принципу симметрии относительно горизонтальных осей закончена.

Приступаем к проверке принципа симметрии относительно вертикальных осей симметрии. Фигура покрытия А размещается по обе стороны от вертикальной оси симметрии 4-го ранга и симметрична относительно этой оси. Левая половина фигуры А симметрична относительно оси симметрии 3-го ранга. После повторного деления левая половина фигуры покрытия оказалась симметричной относительно оси симметрии 2-го ранга. После 3-го деления ППК не охватывает ни одной оси симметрии, на этом проверка достоверности прямоугольника Карно заканчивается. Таким образом, фигура покрытия А действительно является прямоугольником Карно. Аналогично доказывается, что фигура покрытия В также является прямоугольником Карно. В результате минимизации прямоугольники А и В будут описаны следующими формулами:

a = x7x6’x1’

b = x7’x6x2.

На рисунке даны примеры фигур, не являющихся прямоугольниками Карно.Фигуры k, m и n не являются прямоугольниками Карно в силу нарушения принципа симметрии. Фигура n не симметрична относительно горизонтальной оси симметрии 2-го ранга, фигура m не симметрична относительно вертикальной оси симметрии 3-го ранга. Фигура k симметрична относительно оси симметрии 3-го ранга, но её половина не симметрична относительно оси 2-го ранга.

Поразително, что за 30 лет никто из преподавателей и «учёных» так и не освоил моего алгоритма. До сих пор плодятся неграмотные методы работы с картами Карно, в которых утверждается, что достаточно убедиться, что в фигуре покрытия 2n клеточек, чтобы считать её ПК. Фигура m содержит 8 клеточек, но не является прямоугольником Карно.

Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций.

1. Заполнить карту Карно нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.

2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством фигур покрытия, каждая из которых имеет максимальную площадь.

3. Проверить каждую фигуру покрытия на соответствие принципу симметрии. В противном случае изменить контур фигуры покрытия в соответствии с принципом симметрии так, чтобы она превратилась в прямоугольник Карно.

4. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта, причём если в границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0, так и 1, то эта переменная не войдёт в импликанту.

Применим карту Карно для решения задачи 1. На рисунке дан единственный минимальный вариант решения(иногда их бывает несколько).

f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1

Эти выражения представляют собой пример дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ).

В некоторых случаях приведение результата минимизации к скобочной форме позволяет уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых для реализации булевой функции. Скобочная форма получается после вынесения общих множителей за скобки и для f имеет вид:

f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1

Кстати, полученный результат f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1 наводит на печальные размышления. На русский язык эта формула переводится так: «Абитуриент будет принят в учебное заведение, если за него проголосуют 3 члена комиссии или председатель вместе хотя бы с одним членом комиссии». Но ведь этот ответ мы могли бы получить и эвристически, на основе здравого смысла, просто немного подумав. Не пришлось бы рисовать таблицу истинности, заполнять карту Карно и т.д. Формальное решение логических задач иногда превращает нас в «мартышек с арифмометром», отвращает от мышления. Аналогичная опасность грозит и программистам, и микропрограммистам, т.е. схемотехникам.

В алгебре множеств также возможна минимизация логических функций. На рисунке представлены скалярные диаграммы, каждый столбец которых помечен соседними кодами. Фактически эти диаграммы представляют собой одномерную карту Карно, поэтому здесь применимы все вышеприведенные алгоритмы минимизации.

Вполне естественно, что результат минимизации не изменился:

f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1

1.6.Оценка сложности реализации булевых функций

Приблизительную оценку реализации логической функции можно дать по ДНФ, подсчитав коэффициент сложности Кс, равный общему количеству переменных, входящих в ДНФ, плюс количество импликант. Например, для СДНФ к задаче 1 Кс = 32+8=40, а для отминимизированной функции Кс = 9+4=13.

Для того, чтобы перейти от логической функции (ЛФ) к электронной схеме, построенной на интегральных микросхемах (ИМС) типа И-НЕ, достаточно преобразовать ЛФ по правилу де Моргана. Например:

f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1 = [(x4x1)’ & (x4x2)’ & (x4x3)’ & (x3x2x1)’]’.

Из полученного уравнения видно, что для реализации его в виде электронной схемы необходимы только элементы типа И-НЕ: 3 двухвходовых элемента(2И-НЕ), один трёхвходовой элемент(3И-НЕ) и один четырёхвходовой элемент(4И-НЕ). При этом нужно иметь в виду, что в одном корпусе ИМС могут быть размещены 4 элемента И-НЕ, 3 элемента 3И-НЕ, 2 элемента 4И-НЕ или 1 элемент 8И-НЕ. В наше время отпала необходимость в реализации ЛФ на элементах типа И-НЕ, поэтому можно сразу рисовать схему на элементах И и ИЛИ. Кроме того, применение программируемых интегральных схем (ПЛИС) вообще снимает проблему реализации: достаточно представить лишь готовую формулу ЛФ. Минимизация по таблицам истинности в САПР для ПЛИС зачастую оказывается неэффективной, поэтому советую иногда проверять результаты минимизации при работе в САПР.

При использовании базиса И-НЕ обе функции примут вид, представленный на рисунке. Из рисунка видно, что реализация функции по СДНФ потребовала 5 корпусов ИС, по минимальной форме - 1,58 корпуса ИС, по скобочной форме - 1,16 корпуса. Таким образом, минимизация по карте Карно дала нам трёхкратный выигрыш по корпусам ИС относительно реализации по СДНФ. Реализация по скобочной форме уменьшила объём оборудования ещё на 30%. Кстати, оценка экономии по Кс даёт приблизительно такой же результат: 40/13 = 3,08.

1.8. Формы задания булевых функций.

Об одной форме задания булевых функций мы уже говорили - это таблица истинности. Иногда применяется более компактная запись, использующая восьмеричные, десятичные или шестнадцатеричные эквиваленты наборов. Например, набор x4x3x2’x1’ может быть представлен обобщённым кодом 1100, десятичным эквивалентом которого является число 12. Удобнее всего 8-чные и 16-чные коды.

Ниже приведена Паскаль-программа синтеза псевдослучайных кодов для задания произвольных булевых функций.

program nabor;

uses crt;

type stroka = string[4];

txt = file of stroka;

var f1:txt;

x,y,i,j,n,m,b:integer;

st:stroka;

{-------------------------------------------------------------}

function intchar(m:integer):char;

var

ch:char;

begin

case m of

0..9: ch:=chr(m+ord('0'));

10..35: ch:=chr(ord('A')+m-10);

else

begin

writeln('Ошибка ввода');

halt;

end;

end{case};

intchar:=ch;

end;

{--------------------------------------------------------------}

function int10(a:longint;b:integer):string;

{Пеpевод целого 10-ичного числа в (2..36)-ичные системы}

{a,b - исх. 10-ичн. число и основание сист. счисл. соотв-енно}

var s:string;

m,i,j:integer;

chrarr:array[0..30] of string;

begin

i:=0;

for j:=0 to 30 do chrarr[j]:=' ';

repeat

m:=(a mod b);

chrarr[i]:=intchar(m);

a:=a div b;

i:=i+1;

until (a=0);

s:=chrarr[i];

for j:=i-1 downto 0 do

s:=s + chrarr[j];

int10:=s;

end;

{=================================================}

begin

{$I-} {Внутр.проверка правильности операции с файлом отключена}

writeln('**************************************************************');

writeln('* Фоpмиpование файла случайных *');

writeln('* 2-pазpядных 4,8,16-ичных чисел для каpт Каpно *');

writeln('* Pезультиpующий файл - rnd.txt *');

writeln('* Лобанов В.И. 16-09-1997 *');

writeln('**************************************************************');

writeln;

write('Введите длину файла n и количество пеpеменных m(4,6,8) ');

readln(n,m);

assign(f1,'rnd.txt');{Связь f1 с pезультиpующим файлом }

{$I+} {Включить внутр.проверку}

rewrite(f1); {Открыть файл для записи}

case m of

4: begin b:=4; x:=15; end;

6: begin b:=8; x:=63; end;

8: begin b:=16;x:=255; end;

end;{case}

randomize;

for i:=1 to n do

begin

y:=random(x);

st:=int10(y,b);

write(st:8);

write(f1,st);

end;

close(f1);

writeln;

writeln('Файл rnd.txt сфоpмиpован');

writeln('Нажмите клавишу пpобела');

repeat until keypressed;

end.

Задача 3.

Полностью определённая булева функция от 4-х переменных задана десятичными рабочими наборами : РН(4) = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.Число в скобках указывает количество переменных. Найти минимальную форму этой функции.

Решение.

Так как функция является полностью определённой, то запрещёнными наборами ЗН(4) являются наборы 0 - 4, 12 - 15. Исходя из этой информации, составляем таблицу истинности и осуществляем минимизацию по карте Карно.

Таблица 4.

РН(4) x4 x3 x2 x1 f
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 1

ЗН(4) x4 x3 x2 x1 f
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 0
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 0


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 




<
 
2013 www.disus.ru - «Бесплатная научная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.