WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:     || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Лобанов Владимир Иванович, вед.научн.сотрудник ФГУП «ЦНИИ «Комета», к.т.н., e-mail:lobanov-v-i

Русская логика в информатике (Букварь математической логики).

Аннотация

Данная брошюра в популярной форме знакомит читателей с наиболее значимыми разделами Русской логики, которая опровергает многие постулаты классической логики, являясь насегодня единственной истинно математической логикой. Автор обвиняет современных матлогиков в невежестве и безграмотности. Брошюра рассчитана на школьных преподавателей математики и информатики, но может быть освоена и школьниками 5-7-ых классов. Брошюра весьма полезна преподавателям и студентам вузов, а также всем профессорам и академикам.

Предисловие

Знает ли хоть кто-нибудь математическую логику? Вы сами ответите на этот вопрос, пройдя тестирование по следующему вопроснику.

Вопросник для математика и логика.

  1. Как работать с картой Карно на 8 и более переменных?
  2. Что такое метод обобщённых кодов Мавренкова?
  3. Что можно вычислить с помощью кванторного исчисления?
  4. Алгебра множеств и алгебра логики. Назовите различия.
  5. Логика предикатов и логика суждений. В чём разница?
  6. Физический смысл и вывод формулы импликации.
  7. Фигуры и модусы Аристотеля. В чём их практическая ценность?
  8. Правильны ли правила посылок в силлогистике?
  9. Как выглядят аналитические представления для Axy, Exy и Ixy?
  10. В чём смысл логики П.С. Порецкого?
  11. В чём главное достижение логики Л. Кэрролла?
  12. Что такое вероятностная логика?
  13. Что такое 4-значная комплементарная логика?
  14. Как решаются логические уравнения?
  15. Что такое логическое вычитание и деление?
  16. Как найти обратную логическую функцию?

Ответы на эти вопросы вы найдёте в «РВЛ», которую можно бесплатно скачать с моего сайта http://logicrus.ru или сайта РГБ http://www.rsl.ru. На этих же сайтах вы сможете прочесть основополагающую работу Платона Сергеевича Порецкого.

Преподавание логики в русской школе имеет достаточно давние традиции. Этот предмет в качестве основного впервые ввёл в гимназиях и Академии великий русский учёный М.В. Ломоносов. С тех пор логику в обязательном порядке изучали в гимназиях России и по указанию Сталина в 1946 – 1957 гг. (после смерти Сталина с 1953г. по 1957г. – по «инерции») в школах СССР. Причём в дореволюционной гимназии на логику отводилось вдвое больше времени, чем на математику. А русские математики были, есть и, я надеюсь, будут сильнейшими математиками в мире. Но для этого нужно восстановить старую русскую математическую школу, уничтоженную академиком Колмогоровым и его последователями. Для начала убрать всю макулатуру по математике современных авторов и вернуть в среднюю школу учебники выдающегося математика и педагога Киселёва Андрея Петровича. Затем следует возродить преподавание логики, начиная с четвёртого класса. При этом нужно иметь в виду, что математическая логика является фундаментом искусственного интеллекта (ИИ), стратегического направления науки 21-го века. К сожалению, математическую логику в объёме классической преподают невежественно даже в ведущих вузах России: МГТУ, МФТИ, МГУ. Во всяком случае, Порецкого П.С., который создал истинно математическую логику в 1884 году, там не знают, т.е. его работ не понял ни один математик мира. Это свидетельство невежества, безграмотности и бестолковости. Получается, что мы, Русские – иваны, не помнящие родства. Россия может и должна гордиться Порецким, решившим проблему, с которой всё человечество не справилось за 25 веков.

Автор считает, что читатель имеет право знать профессиональный уровень создателя любого произведения, тем более интеллектуальные возможности разработчика математической логики. Если этот сочинитель – двоечник, то читать его совершенно не за чем. Правда, и отличник – не всегда профессионал даже в своей области: наверное, Колмогоров получал великолепные оценки по математике, но в матлогике он оказался невеждой и бестолочью. Академические звания и Нобелевские премии тоже не гарантируют высокий интеллект их обладателя. Примеры: Б.Рассел в матлогике и Эйнштейн – в математике. Если бы учащиеся досконально знали биографию Эйнштейна, они никогда бы не поверили этому двоечнику. Поэтому в брошюре приведена биография автора.

Автор предлагаемого пособия – нормальная посредственность в мышлении, поэтому русским преподавателям математики стыдно будет не освоить (или опровергнуть) «Русскую логику в информатике». Не верьте ни единому утверждению в Русской логике. Возражайте, опровергайте, но аргументированно.

Логика дисциплинирует мышление. Ещё Гераклит говорил, что учить нужно многомыслию, а не многознанию. Не путайте Божий дар с яичницей: телевизионные «знатоки» - это не мыслители, они зарабатывают деньги не «своим собственным умом», а совсем противоположным местом.

Все мои книги и многие статьи выложены в открытом доступе на указанных в перечне литературы сайтах [1].

Материал этой брошюры прошёл апробацию в 5«А» классе СШ №3 г.Москвы. Это обычная нематематическая средняя школа. Были проведены 4 двухчасовых занятия ознакомительного курса. Пятиклассники активно и с большим интересом осваивали Русскую логику.

Нормальная программа-минимум должна выглядеть следующим образом.

№п/п Вид занятий Тема и краткое содержание занятий Кол-во часов Дом. Зад. Раз- делы
1 Урок Предмет логики. Алгебра логики. 2 1.1-1.2
2 Урок Синтез логических функций 4 ДЗ1 1.3-1.5
3 Семинар Синтез логических функций 2 ДЗ2 1.1-1.5
4 Урок Законы логики суждений 2 ДЗ3 2
5 Семинар Законы логики суждений 2 ДЗ4 2
6 Урок Силлогистика 2 ДЗ5 3
7 Семинар Силлогистика 2 ДЗ6 3
8 Контр.работа 2 1-3

1. Алгебра логики

1.1 Основные положения алгебры логики

Логика – наука о законах мышления. Она позволяет делать правильные выводы из любых посылок, предохраняет от ошибок в рассуждениях, обеспечивает безошибочное доказательство всевозможных законов, правил и теорем в различных областях знаний: в математике, физике, химии, в грамматике русского языка и т.п. Для решения этих задач используется алгебра логики.

В алгебре логики (булевой алгебре) переменные могут принимать два значения: 1 (истинно) или 0 (ложно). Для двух аргументов существуют 16 логических функций (операций, логических действий). Полная система этих функций(z0 – z15) для двух аргументов(x,y) показана в таблице.

Над переменными в основном производятся три логических действия: сложение, умножение, отрицание (инверсия), что соответствует функциям ИЛИ, И, НЕ. Все функции в булевой алгебре могут быть описаны с помощью таблицы истинности. В нижеследующих таблицах описаны функции И(z1), ИЛИ(z7),НЕ(z12).

Вместо функции И часто используется термин «конъюнкция», вместо функции ИЛИ - термин «дизъюнкция». Вместо функции НЕ употребляется термин «инверсия» или «отрицание». Для двоичной логики понятия «инверсия» и «отрицание» эквивалентны.

При написании логических формул для функции И используются следующие символы: &,, точка или ее отсутствие; для функции ИЛИ - V, +. Функция НЕ обозначается штрихом над аргументом. Мы для обозначения отрицания будем использовать апостроф. Таким образом, можно записать:

z1 = x2 & x1 = x2 x1 = x2x1 z7 = x2 V x1 = x2 + x1

z12 = x’

Какой смысл имеют логические функции И, ИЛИ, НЕ. Поясним это на примерах. Пусть школьник принял решение: « Я пойду в кино, если выучу уроки и покатаюсь на лыжах». Обозначим через f1 – «я пойду в кино», x1 – «я выучу уроки», x2 – «я покатаюсь на лыжах». Тогда решение школьника будет записано в виде логической формулы так:

f1 = x2x1.

Родители заявили ученику: «Ты посмотришь телефильм, если перед этим покатаешься на лыжах или поиграешь в хоккей». Пусть f2 – «посмотришь телефильм», x1 – «покатаешься на лыжах», x2 – «поиграешь в хоккей». Тогда заявление родителей можно представить в виде логической формулы так:

f2 = x2+x1.

Тренер сказал футболисту-юниору: «Ты останешься в команде, если у тебя не будет двоек». Пусть f3 – «ты останешься в команде», x – «будут двойки», тогда приказ тренера выразится следующей формулой: f3 = x’.

1.2 Основные законы алгебры Буля.

Прежде, чем приступить к изложению основных законов алгебры логики, зафиксируем некоторые очевидные её положения.

1 + a = 1; 0 + a = a; a & 1 = a; a & 0 = 0; a + a’ = 1.

Эти соотношения легко проверяются по таблице истинности для логической функции ИЛИ подстановкой 0 или 1 вместо аргумента a.

В булевой алгебре все операции осуществляются с логическими переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем и докажем некоторые из них.

а) Переместительный закон

а + в = в + а; ав = ва

б) Сочетательный закон

( а + в ) + с = а + ( в + с) ; ( ав )с = а(вс)

в) Распределительный закон

а( в + с ) = ав + ас ; а + вс = (а + в)( а+с )

г) Закон поглощения

а + ав = а( 1 + в ) = а ; а( а + в ) = а + ав = а

д) Закон склеивания

ав + ав’ = а(в + в’) = a & 1 = a; ( а + в )(а + в’) = а

е) Идемпотентный закон

a + a = a; a & a = a

Вышеприведённые законы легко проверяются подстановкой 0 и 1 вместо аргументов a, b, c.

ё) Правила де Моргана

Эти правила справедливы для любого числа аргументов.

а + в + с +.... + z = ( а’в’с’...z’ )’

авс... = ( а’ + в’ + с’ +... + z’ )’

Правила можно описать таким алгоритмом.

Для перехода от логической суммы к логическому произведению необходимо проделать следующие операции:

1) проинвертировать все слагаемые в отдельности;

2) заменить знаки сложения знаками умножения;

3) проинвертировать получившееся выражение.

Аналогично выполняется переход от логического произведения к логической сумме. В инженерной практике используются лишь правила де Моргана и закон склеивания.

Кроме основных функций И(f1), ИЛИ(f2), НЕ(f3), в алгебре логики часто используются функции равнозначности (эквивалентности) и неравнозначности (сумма по модулю 2). Для обозначения этих функций применяют следующие символы: равнозначность - ~ и =, сумма по модулю 2 - и. Содержание этих функций отражено в таблице.

Смысл этой таблицы прост: если a = b, то функция равнозначности z9 = 1. Если же a b, то z9 = 0, а функция неравнозначности z6 = 1. Для того, чтобы по таблице истинности построить булеву функцию, достаточно выписать все наборы входных переменных и представить их в виде логической суммы. Если какая-либо переменная входит в набор нулём, то она в символьном виде отображается своей инверсией.

Из таблицы получаем:

z9 = а ~ в = 00 + 11 = а’в’ + ав – равнозначность;

z6 = a в = 01 + 10 = а’в + ав’ – сумма по модулю 2, или неравнозначность.

Из таблицы видно, что

z9 = z6’ или z9’ = z6.

Таким образом,

а’в’ + ав = ( ав’ + а’в )’, или

а~в = ( а в )’, а в = (а~в)’.

Особое место в алгебре логики занимает функция импликации: ab = a’+b. Переводится приведённая формула импликации на русский язык так: если истинно a, то b тоже истинно. Например, пусть a – я выучу все энциклопедии, а b – обыграю всех телезнатоков. Тогда запись ab будет означать следующее суждение: если я выучу все энциклопедии, то обыграю всех телезнатоков.

Все вышеприведённые правила и законы даны не для запоминания-зубрёжки, а в качестве справочного материала. Нужно никогда не забывать, что главным инструментом является Ваша светлая голова, Ваше мышление.

1.3. Синтез логических функций

Под синтезом логических функций будем понимать процесс её получения по словесному описанию, по таблице истинности или любому другому способу задания этой функции. Синтез логических функций можно проиллюстрировать решением простой задачи.

Задача 1.1.

Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется голосом председателя. Найти краткое определение ситуации, в которой абитуриент будет принят в учебное заведение. Найти решение в виде логической функции, т.е. построить автомат для тайного голосования.

Решение.

Пусть f - функция большинства голосов. f = 1, если большинство членов комиссии проголосовало за приём абитуриента, и f = 0 в противном случае.

Обозначим через x4 голос председателя комиссии. x4 = 1, если председатель комиссии проголосовал за приём абитуриента. x3, x2, x1 - голоса членов приёмной комиссии.

С учётом вышеуказанных допущений условие задачи можно однозначно представить в виде таблицы истинности.

Заполнение таблицы осуществляем с учётом того, что функция f является полностью определённой, т.е. она определена на всех возможных наборах переменных x1 - x4. Для n входных переменных существует N = 2n наборов переменных. В нашем примере N = 24 = 16 наборов.

Записывать эти наборы можно в любом порядке, но лучше в порядке возрастания двоичного кода.

Примечание. Здесь и далее под набором будем понимать конъюнкцию, т.е. логическое произведение, всех входных переменных.

Все наборы, на которых функция принимает значение 1, будем называть единичными, или рабочими. Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть нулевыми, или запрещенными (по Мавренкову Л.Т.).

Для того, чтобы по таблице истинности найти функцию f, достаточно выписать все единичные наборы и соединить их знаком дизъюнкции.

Таким образом,

f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111

или в символьном виде

f = x4’x3x2x1+x4x3’x2’x1+x4x3’x2x1’+x4x3’x2x1+x4x3x2’x1’+x4x3x2’x1+

+x4x3x2x1’+x4x3x2x1

Полученная форма функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), здесь каждое логическое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов. В случае, когда не каждое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов, то такая форма представления логической функции называется просто ДНФ. Очевидно, применяя основные законы булевой алгебры, мы могли бы аналитически уменьшить сложность полученного выражения. Но это наихудший способ минимизации булевых функций.

1.4.Минимизация полностью определённых булевых функций.

Карты Карно позволяют решить задачу минимизации логической функции элегантно и просто. Карно был толковым инженером (кстати, за 30 лет я так и не нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия), но поленился или не сумел описать алгоритм работы со своими картами. Поэтому до сих пор неблагодарное человечество не научилось работать с ними. Алгоритм работы с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был разработан автором более 30 лет назад [2 - 10]. Здесь алгоритм приводится в сокращённом варианте.

Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций от 4-х и менее переменных.

1. Заполнить карту Карно (КК) нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.

2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством прямоугольников Карно (ПК), каждый из которых имеет максимальную площадь.

3. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта (логическое слагаемое), причём если в границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0, так и 1, то эта переменная склеивается, т.е. удаляется из импликанты.

Под прямоугольником Карно (этот термин пришлось ввести в 1977г.) для не более чем от 4-х аргументов, можно понимать любую, в том числе и разорванную, симметричную фигуру покрытия, количество клеток (элементарных прямоугольников Карно) в которой составляет целую степень двойки: 1, 2, 4, 8. Все клетки ПК являются соседними, т.е. закодированы соседними кодами. Два кода называются соседними, если они отличаются друг от друга только в одном разряде. Например, коды 1010 и 1011 являются соседними.

На нижеприведённом рисунке даны примеры КК и прямоугольников Карно для различного числа аргументов.

На КК для 4-х переменных представлены два прямоугольника Карно, один из которых (Р) является разорванной фигурой покрытия. На КК для 6 переменных изображены прямоугольники Карно A – G, K, M, N, большинство из которых также являются разорванными фигурами покрытия. Общее для всех свойство - симметричность по Лобанову [2 - 4], необходимое и достаточное условие для определения ПК.

В современной логике появились попытки представить ПК просто фигурой покрытия с 2n клетками КК. Пример фигур покрытия, содержащих 23 клеток КК и не являющихся прямоугольниками Карно, представлен на следующем рисунке. Фигуры М и N не обладают симметричностью по Лобанову.

 Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке. Из-5

 Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке. Из-6

Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке.

Из карты Карно получено соотношение:

f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1

Это выражение представляет собой пример минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ). В некоторых случаях приведение результата минимизации к скобочной форме (вынесение общего множителя за скобки) позволяет уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых для реализации булевой функции. Скобочная форма для f имеет вид:

f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1

Смысл скобочной формулы прост: за абитуриента должны проголосовать либо все 3 члена комиссии, либо хотя бы один из них, но совместно с председателем.

Формы задания булевых функций.

Об одной форме задания булевых функций мы уже говорили - это таблица истинности. Иногда применяется более компактная запись, использующая двоичные, восьмеричные, десятичные или шестнадцатеричные эквиваленты наборов. Это так называемые обобщённые коды. Например, набор x4x3x2’x1’ может быть представлен обобщённым двоичным кодом 1100, десятичным эквивалентом которого является число 12. Удобнее всего 8-чные и 16-чные коды. Автором создана Паскаль-программа синтеза псевдослучайных кодов для задания произвольных булевых функций при проведении семинаров или контрольных работ. Эту программу можно разработать самостоятельно или найти её на сайте http://logicrus.ru [7].

Поскольку мы будем работать с функциями не более чем от 4-х переменных, то нам пригодится таблица перевода 10-чисел от 0 до 15 в двоичные коды.

Десятичное число Двоичное число Десятичное число Двоичное число
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 10 1010
3 0011 11 1011
4 0100 12 1100
5 0101 13 1101
6 0110 14 1110
7 0111 15 1111

Задание 1.

Найти минимальную форму полностью определённых булевых функций, заданных 10-чными рабочим наборами (число в скобках указывает количество переменных):

1-1) РН(4) = 0, 1, 5, 7 - 9, 13, 15

1-2) РН(4) = 4, 6, 8, 10, 13

1-3) РН(4) = 1 - 8

1-4) РН(4) = 7 - 15

1-5) РН(4) = 3 – 15

1-6) РН(3) = 1, 3, 5, 7

1.5. Минимизация недоопределённых булевых функций

Функция от n переменных называется недоопределённой, если она задана не на всех 2n наборах. Задача минимизации такой функции заключается в оптимальном доопределении значений функции на незаданных наборах, которое позволило бы покрыть рабочие наборы минимальным количеством прямоугольников Карно, каждый из которых имел бы максимальную площадь.

Задача 1.5.1.

Найти минимальную форму функции y от 4-х аргументов, заданную десятичными рабочими (РН) и запрещёнными (ЗН) наборами:

РН(4): 1, 2, 9;

ЗН(4): 7, 13.

Решение.

Функция задана только на 5 наборах (число в скобках указывает количество переменных). Добавим к трём рабочим наборам ещё пять, а именно : 0000, 0011, 1000, 1011, 1010. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно, состоящий из 8 элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция:

y = х3’

Задание 2.

2-1. Построить по заданной таблице истинности 2/(2-10) преобразователь для делителя частоты на 24, работающего в коде 16-8-4-2-1. Этот преобразователь использовался на заре цифровой схемотехники в радиолюбительских электронных часах.

x4 x3 x2 x1 x0 y5 y4 y3 y2 y1 y0 x4 x3 x2 x1 x0 y5 y4 y3 y2 y1 y0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1

2-2. Построить 4-входовой сумматор для суммирования одноразрядных двоичных чисел по заданной таблице истинности.

x4x3x2x1 y2y1y0 x4x3x2x1 y2y1y0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0

1.6. Практикум по синтезу и минимизации логических функций.

Задача 1.2.

Полностью определённая булева функция от 4-х переменных задана десятичными рабочими наборами: РН(4) = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.Число в скобках указывает количество переменных. Найти минимальную форму этой функции.

Решение.

Так как функция является полностью определённой, то запрещёнными наборами ЗН(4) являются наборы 0 - 4, 12 - 15. Исходя из этой информации, составляем таблицу истинности и осуществляем минимизацию по карте Карно.

Таблица 4.

РН(4) x4 x3 x2 x1 f
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 1
ЗН(4) x4 x3 x2 x1 f
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 0
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 0

По карте Карно получаем результат: f = x4x3’ + x4’x3(x1 + x2)

Задача 1.3.

Найти минимальную форму функции y, представленной на рисунке.

Решение.

Функция задана только на 7 наборах. Добавим к пяти рабочим наборам ещё три, а именно : 0000, 1000, 1011. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно, состоящий из 8 элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция: y = x3’

Задача 1.4.

Построить преобразователь двоичного кода в двоично-десятичный в соответствии с таблицей.

x4x3x2x1 y5y4y3y2y1 x4x3x2x1 y5y4y3y2y1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

Решение.

Для каждой функции yi заполняем карту Карно, производим доопределение и осуществляем минимизацию. Весь процесс отражён на рисунке.

В результате минимизации получаем систему функций:

y1 = x1 y2 = x4’x2 y3 = x3 y4 = x4x2’ y5 = x4x2

Задача 1.5.

Построить один разряд многоразрядного сумматора, заданного таблицей истинности. Здесь ai и вi - значения i-ых разрядов слагаемых а и в, Pi и Si - значения переноса и суммы на выходе i-го разряда, Pi-1 - значение переноса на выходе предыдущего разряда.

ai вi Pi-1 Pi Si
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1


Pages:     || 2 |
 




<
 
2013 www.disus.ru - «Бесплатная научная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.