ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ТГПУ)

Физико-математический факультет

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

Оюн Айна Владимировна

ПРИЕМЫ РАБОТЫ С УЧЕБНЫМИ ТЕКСТАМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Выпускная квалификационная (дипломная) работа

Допустить к защите в ГАК

зав. кафедрой математики,

теории и методики обучения

математике д.п.н.

__________Э.Г. Гельфман

«____» __________ 2010 г.

Научный руководитель:

зав. кафедрой математики,

теории и методики обучения

математике д.п.н.

________ Э.Г. Гельфман

Автор работы:

___________ А.В.Оюн

Томск – 2010

Содержание

Введение	3
1.Общие умения читать текст	6
1.1. Познавательные универсальные учебные действия	6
1.2. Об опыте работы с некоторыми учебными текстами	12
2.Развитие умения работать с учебным текстом	19
2.1. Приемы работы с учебным текстом на разных этапах обучения	19
2.2. Формирование умения конспектировать учебный текст	46
Заключение	61
Список использованных источников	62
Приложение 1. Текст «Уравнения и его корни»	65
Приложение 2. Текст «Увеличиваем степень»	67
Приложение 3. Примеры конспектов	70
Приложение 4. Вопросы по тексту «Уравнения и его корни»	74
Приложение 5.Тексты: Уравнения и его корни. Уравнения и неравенства	75
Приложение 6.Примеры вопросов	81
Приложение 7.Примеры работ учащихся	82

Введение

Сегодня целью образования становится общекультурное, личностное и познавательное развитие учащихся, обеспечивающее такую ключевую компетенцию, как умение учиться.

В связи с тем, что приоритетным направлением новых образовательных стандартов является реализация развивающего потенциала общего среднего образования, актуальной задачей становится обеспечение развития универсальных учебных действий.

Важнейшей задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию[1].

Целью данной дипломной работы является разработка методики формирования общих учебных действий, направленных на овладение учащимися приемами работы с учебными текстами по математике.

Задачи данной дипломной работы:

1.На основе анализа психолого-педагогической литературы выделить основные приемы работы с учебными текстами.

2.Разработать и внедрить в практику школы методику формирования приемов работы с учебными текстами.

Данная дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

В первой главе анализируются психолого-педагогические работы, посвященные проблемам формирования общих универсальных учебных действий. В первом параграфе на основе анализа исследованы работы Л.В. Виноградова, А.В. Усовой, Н.А. Подгорецкой, Л.И. Боженковой Л.О. Денищевой, Н.Ю. Лизуры и т.д. Выделяются следующие общие умения: умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, умения эвристического поиска, умения планировать и контролировать деятельность, умения выявлять критерий для построения классификации, умения выявлять критерий заданной классификации, умения выявлять критерий собственной классификации и т.д. Особое внимание уделяется общим универсальным учебным действиям, связанные по работе с учебным текстом: гностические умения (выделять главное в тексте, использовать «свернутые» записи, выделять в тексте связи между явлениями и т.д.), проектировочные умения (формулировать цели своего чтения и отдавать себе отчет в требованиях к читательской деятельности, формулировать цели самостоятельной работы над разными источниками информации и т.д.), конструктивные умения (конспектировать кратко, сжато, своими словами и с элементами цитирования, составлять план предстоящего сообщения по книге, статье и т.д.), коммуникативные умения (формулировать вопросы к изучаемому тексту, рассказывать об усвоенном, указанном в процессе чтения и т.д.), организаторские умения (организовывать свое время, контролировать пустые траты времени и избегать их, организовывать читательскую деятельность и т.д.).

Во втором параграфе этой главы обобщается опыт работы с такими учебными математическими текстами, как: задачи, формулы, числовые и алгебраические выражения. Выделяются приемы анализа условия задачи с краткой записью, определяется роль задач с недостающими и лишними данными. При работе с формулами предлагаются задания с пропусками, задания, формирующие умения понимать тексты задачи.

Вторая глава «Развитие умения работать с учебным текстом» содержит два параграфа. В первом параграфе рассматриваются приемы работы с учебным текстом на разных этапах обучения: приемы, предваряющие чтение, приемы организующие диалог с автором, приемы «последствия» (преобразования текста). Во втором параграфе описывается работа по формированию у учащихся одного из важных умений по работе с учебными текстами – умение конспектировать. Приводятся примеры текстов для учащихся, которые знакомят их с такими понятиями как: конспект, план, рецензия, аннотация, тезис и т.д. Здесь же приводятся примеры, выполненных учащимися заданий по конспектам данных им текстов по курсу алгебра 7 класса.

Работа прошла экспериментальную проверку в Русской классической гимназии №2.

1.ОБЩИЕ УМЕНИЯ ЧИТАТЬ ТЕКСТ.

1.1.Познавательные универсальные учебные действия.

Одной из важнейших задач современной школы является формирование общих интеллектуальных умений. Успешность учащихся в процессе изучения математики во многом определяется тем, насколько их учебная деятельность способствует формированию общих интеллектуальных умений. Такие умения обозначены в стандартах нового поколения как познавательные универсальные учебные действия.

Существует несколько классификаций общих интеллектуальных умений. Так, Л.В. Виноградова выделяет умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, характеризуемые значительной мерой жесткости, алгоритмичности и умения эвристического поиска. К первой группе умений она относит умения обобщать, сравнивать, анализировать и.т.д. Ко второй группе – умение рассуждать доказательно, предъявляя аргументы для подтверждения каждого факта, правильно формулировать определения понятий, подводить под определение, распознавать признаки понятий. К умениям вести эвристический поиск Л.В.Виноградова относит умение видоизменять цель, разбивать задачи на подзадачи, рассматривать один и тот же объект с различных сторон, выделять частные случаи для получения общей закономерности и т.д. Она отмечает, что деятельность по усвоению понятий предполагает, что цели, поставленные перед учеником, приняты им. Однако, «если цели обучения выдвигаются самим учеником, если план изучения понятия предлагает ученик, то вопрос о принятии целей вообще не стоит» [6].

В работах А.В. Усовой и Н.А. Подгорецкой исследуется проблема, связанная с формированием приемов логического мышления, участвующих в формировании математических понятий. Так, в исследовании Н.А. Подгорецкой выделены основные компоненты приема классификации понятий. К ним относятся умения: 1)выявлять критерий для построения классификации; 2) выявлять критерий заданной классификации; 3) выявлять критерий собственной классификации; 4) соблюдать координацию объема и содержания классов при составлении иерархических классификаций; 5)восстанавливать классификацию по данным ее элементам [19].

Д.В. Татьянченко и С.Г, Воровщиковым разработана программа развития учебно-управленческих, учебно-информационных и учебно-логических умений у учащихся начальной и основной школ. Под учебно-управленческими умениями авторы понимают умения, способствующие планированию, организации, контролю, регулированию и анализу собственной учебной деятельности учащихся, в том числе деятельности, направленной на формирование понятий [7].

Одним из важнейших умений является умение планировать и контролировать деятельность.

Проблеме формирования умения планировать свою учебную деятельность посвящены исследования Л.И. Боженковой, В.В, Давыдова, В.В, Заботина, А.Н, Леонтьева, В.В. Репкина, А.В. Хуторского, С.И. Шапиро и др. Важнейшую роль в развитии умения планировать играют процессы целеполагания. Анализируя основные подходы к целеполаганию, Л.И. Боженкова пишет, что «можно выделить три аспекта целей: статистический, динамический и мотивационный аспекты» [5].

Характеризуя факторы, влияющие на достижение целей учебной деятельности, Грахам отмечает, что в том случае, когда субъект убежден в невозможности контролировать свои учебные достижения, то его деятельность обладает низкими ожиданиями успеха.

В работах Л.О. Денищевой, Н.Ю. Лизуры, Л.А. Лошкаревой, С.Г. Манвелова, В.А. Осинской, Л.М. Фридмана П.М. Эрдниева рассматриваются процедуры, которые могут быть включены в педагогический процесс развития навыков самоконтроля. Так, например, С.Г. Манвелов показывает, каким образом через организацию внешнего контроля (побуждение учащихся к самоконтролю, косвенное развитие самоконтроля, непосредственное развитие самоконтроля) можно сформировать у учащихся навыки самоконтроля [14].

Одним из важнейших общих интеллектуальных умений является умение работать в творческом режиме (готовность к порождению оригинальных идей, способность использовать нестандартные способы решения задач, подходы к рассмотрению учебных проблем и т.д.)

Большие возможности для создания условий, способствующих развитию творческих возможностей учащихся, содержит проектная учебная деятельность. Характеризуя такую деятельность, А.Г. Подстригич пишет: «Будем понимать под проектированием одну из форм учебно-познавательной деятельности по созданию учащимися личностно-значимой интеллектуальной продукции (планов, проспектов, макетов, компьютерных программ, моделей, учебных, научных, художественных текстов, поделок и т.п.) в процессе учения. При этом сама учебная деятельность становится предметом освоения (рефлексии). Подразумевается, что создаются условия, когда ученик сам конструирует понятия, ищет методы решения задач, выделяет области их применения» [20].

Одним из важнейших универсальных учебных действий является умение работать с учебным текстом. К таким умениям относятся [21]:

I. Гностические (познавательные) умения:

1) выделять главное в тексте, использовать «свернутые» записи (заметки, тезисы, конспекты и др.);

2) выделять в тексте связи между явлениями;

3) пользоваться библиографическими изданиями, справочной литературой;

4) привлекать в процессе чтения дополнительные источники;

5) пользоваться приемами скорочтения;

6) формулировать гипотезы, намечать пути их проверки;

7) производить анализ, синтез, обобщение на материале изучаемого текста.

II. Проектировочные умения:

1) формулировать цели своего чтения и отдавать себе отчет в требованиях к читательской деятельности;

2) формулировать цели самостоятельной работы над разными источниками информации;

3) формулировать, к каким результатам и с помощью каких методов работы с произведениями печати можно прийти,

4) формулировать задачи, темп и ритм чтения.

III. Конструктивные умения:

1) конспектировать кратко, сжато, своими словами и с эле­ментами цитирования;

2) составлять план предстоящего сообщения по книге, статье;

3) составлять тезисы своего сообщения;

4) цитировать, аннотировать, реферировать, рецензировать;

5) делать выводы и обобщения.

IV. Коммуникативные умения:

1) формулировать вопросы к изучаемому тексту;

2) активно воспринимать устные сообщения о книге, анализировать их;

3) самому активно участвовать в обсуждении книги, статьи;

4) рассказывать об усвоенном, узнанном в процессе чтения;

5) строить логически законченное сообщение со вступлением к нему, заключением и выводами;

6) высказывать собственное отношение к прочитанному, формулировать и аргументировать свою оценку книги или статьи.

V. Организаторские умения:

1) Организовывать свое время, контролировать пустые траты времени и избегать их;

2) организовывать читательскую деятельность: рабочее место, необходимые средства деятельности, обеспечивать гигиенические условия чтения, следить за темпом включения в работу;

3) контролировать зрение, движение глаз, утомляемость;

4) ограничивать контакты с другими людьми для достиже­ния искомых целей в области читательской деятельности;

5) приобретать в процессе учебы, работы и в свободное вре­мя знания, умения, навыки, необходимые для читательской деятельности;

6) организовывать накапливаемую в процессе чтения информацию таким образом, чтобы по окончании чтения ею можно было воспользоваться.

В работах Е.В. Лопаткиной рассматриваются разные приемы работы с учебным текстом на разных этапах обучения. Автор разделил эти приемы на следующие группы [12]:

1.Приемы, предваряющие чтение:

• экскурсия по книге;

• определение стратегии чтения*;

• выбор тактики чтения*;

• работа над заголовком, эпиграфом*.

2. Приемы, организующие диалог с автором:

• Приемы, мотивирующие диалог с автором:

1.сортировка материала*;

2.постраничный анализ текста*;

3.деление текста на смысловые части;

4.выделение главных, основных мыслей в тексте;

5.выбор ключевых слов, словосочетаний, фраз.

• Приемы, осуществляющие диалог с автором:

1.выбор из текста незнакомых слов, словосочетаний

и выяснение их значений*;

2.выбор слов-сигналов, помогающих обратить внимание на то,

что нужно запомнить;

3.составление (самопостановка) вопросов к тексту;

4.поиск ответов на поставленные вопросы.

• Приемы, рефлексирующие и оценивающие диалог с автором:

1.соотнесение собственной точки зрения на поставленную

проблему с текстом учебника;

2.подтверждение основных положений текста

собственными примерами;

3.работа со справочной литературой*.

3. Приемы «последействия» (преобразования текста):

• Приемы, мотивирующие «последействие»:

1.составление схем, рисунков, планов, конспектов, словарей,

алфавитных указателей, справочников, реклам, антиреклам и т.д.;

2.составление заданий, аналогичных тем, которые встретились

в тексте;

3.составление контрольных вопросов к параграфу,

главе, книге для будущих читателей.

• Приемы, осуществляющие «последействие»:

1.пересказ содержания от собственного имени или от

имени одного из героев;

2.восстановление текста по рисункам;

3.придумывание своих заголовков к тексту*;

4.поиск эпиграфов к тексту*;

5.поиск дополнительной литературы по изучаемой теме.

• Приемы, рефлексирующие и оценивающие «последействие»:

1.написание рецензий к выбранному фрагменту;

2.редактирование текста*;

3. написание собственных текстов на заданную тему*.

Таким образом, сегодня перед школой встает задача формирования обучения интеллектуальных умений (познавательные универсальные учебные действия), которые могут включать в себя: умения по осуществлению отдельных мыслительных операций, формально-логические умения, характеризуемые значительной мерой жесткости, алгоритмичности и умения эвристического поиска, умение планировать и контролировать деятельность, умение работать с учебным текстом: гностические (познавательные) умения, проектировочные умения, конструктивные умения, коммуникативные умения, организаторские умения. Мы остановимся на тех интеллектуальных умениях, которые связаны с формированием приемов работы с учебным текстом на уроках математики.

1.2.Об опыте работы с некоторыми учебными текстами.

В математике учащиеся встречаются с такими учебными текстами как теория, связанная с математическими понятиями и теоремами, с задачами, формулами и т.д.

Так, например, успех учащихся в работе над задачами зависит от того, насколько у них сформировано умение читать задачу, выделять данные и искомые величины, выделять вопросы в задаче, устанавливать связи между данными и искомыми. В связи с этим большое внимание следует уделить умению анализировать текст задачи.

Результатом анализа условия задачи, а также способом фиксации проведенного анализа является краткая запись текста задачи. Существует разные формы краткой записи. Это могут быть таблицы, схемы и рисунки. В работе З.П. Матушкиной приводиться примеры различных кратких записей [15].

Приведем пример как по-разному представить одну и ту же задачу.

Задача: Две машинистки при совместной работе затрачивают на перепечатку рукописи на 1 ч больше, чем затрачивает на половину рукописи первая машинистка и 1/3 рукописи вторая машинистка. За сколько часов перепечатает рукопись каждая машинистка?

Краткая запись текста задачи в виде схемы:

1) I и II

на 1 ч >, чем

I

2) I и II

на 1 ч >, чем

II

Краткая запись текста задачи в виде таблицы:

	V	t	А
I и II		На 1 ч больше чем	1
I			1/2
II			1/3

В учебниках серии МПИ проводиться специальная работа по усвоению условия задачи с помощью краткой записи. Приведем примеры такой работы [8]:

1)Заполните пропуски в тексте задачи, используя данные краткой записи.

В двух цехах рабочих столько же, сколько в третьем цехе, при этом во втором цехе в … раза меньше …, чем в первом, а в третьем – на 75 человек больше, чем …. Сколько рабочих в каждом цехе?

I

II в 1,5 раза меньше, чем

III …, чем

I+II+III.

2)Составьте задачу по ее краткой записи:

I в 2 раза больше, чем

II 91

III на 7 раз больше, чем

Какие из выражений могли ли быть использованы при решении этой задачи:

а)2х + 7; б)х + 7; в)7 – х; г)91 – х; д)2(х + 7); е)4х + 7; ж)3х?

Для того чтобы школьники понимали условие задачи необходимо, чтобы они осознавали роль отдельных словосочетаний в тексте задачи. В связи с этим полезны задания, когда учащиеся обращают внимание на то, как влияют изменение некоторых элементов в условии задачи на ход её решения. Приведем пример таких текстов из книги З.П. Матушкиной [15].

Задача: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расположенных на расстоянии 1260 км, и встре­тились через 7 ч после выхода. Скорость одного из них 80 км/ч. Найди­те скорость другого поезда». Затем им предлагаются вопросы:

- Изменится ли решение, если: «встретились не через 7 ч, а через 2 ч, 5 ч, 9 ч?»; в тексте задачи слово «одновременно» отсутствует?; скорость первого поезда будет не 80 км/ч, а 60 км/ч, 100 км/ч?

- Возможно ли ответить на какие-нибудь другие вопросы, кроме сформулированного в задаче?

- Замените числовые данные задачи и решите ее. Изменится ли решение задачи?

- Изменится ли решение задачи, если изменить сюжет задачи, со­хранив данные задачи?

- Изменится ли решение задачи, если изменить математическое содержание задачи, сохранив сюжет задачи и данные?

В результате ответов на вопросы были составлены и решены сле­дующие задачи:

- Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расположенных на расстоянии 390 км, встретились через три часа после выхода. Скорость одного из них - 70 км/ч. Найти скорость другого поезда.

- Из двух сел одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 4 ч. Расстояние между селами - 36 км. Скорость одного пешехода - 4 км/ч. Найдите скорость второго пешехода.

- Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли две машины и встретились через 7 ч после выхода. Расстояние между го­родами - 1260 км. Найдите скорость второй машины, если скорость первой машины - 80 км/ч

- С одной и той же станции в противоположных направлениях од­новременно вышли два поезда. Через 7 ч после выхода расстояние между ними стало 1260 км. Скорость одного из них -80 км/ч. Найдите скорость другого поезда.

-Два поезда вышли навстречу друг другу из двух городов, распо­ложенных на расстоянии 1260 км. и встретились через 7 ч Скорость одного из них - 80 км/ч. Найдите скорость другого поезда.

Аналогично для задачи: «Маляр израсходовал 4/5 купленной крас­ки. Сколько краски осталось, если купили ее 100 кг?» получим следую­щие задачи:

- Маляр израсходовал 2/3 купленной краски. Сколько краски осталось, если купили ее 60 кг?

- Велотуристы прошли 4/5 намеченного пути. Сколько осталось пройти туристам, если намеченный путь составляет 100 км?

-В магазине продано 2/3 привезенных яблок. Сколько яблок оста­лось продать магазину, если привезли 600 кг яблок?

- Маляр израсходовал 400 кг краски, что составляет 4/5 купленной краски. Сколько краски осталось?

Большую роль в формировании умения анализировать текст задачи играет постановка задач с недостающими и лишними данными. Так, например при обучении решению задач на различные виды движения в проекте МПИ учащимся предлагаются именно такие тексты:

1)Коля живет от Миши на расстоянии 2,4 км. Этот путь Коля проехал на велосипеде за 0,4 ч со скоростью 6 км/ч, а обратный путь по той же дороге он проехал со скоростью 6,5 км/ч. На какой путь Коля потратил меньше времени и на сколько?

Нет ли лишних данных в задаче? Если есть, то какие именно?

2)Сравните условия задач.

а)Турист проехал 288 км. Поездом он ехал 4 часа, а на лошадях – 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошадях?

б)Турист проехал 288 км, причем на лошадях он проехал 48 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошадях – 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошадях, если скорость поезда была 60 км/ч?

При изучении курса алгебры необходимо специальная работа по формулированию учащихся умений читать тексты, в которых встречаются формулы, числовые и алгебраические выражения. Приведем примеры текстов, которые учат школьников «читать» формулы, работать с алгебраическими и числовыми выражениями [16]:

1. Найдите значение числового выражения:

а)6 · 1,5 · 1,5 : 0,3; б)6 · (1,5 – 1,4) · 4;

в)(6 · 1,5 – 1,4) · 4; г)4 · 16 : 8 · 4;

д)4 · 16 : (8 · 4); е)4 · (16 : 8 · 4).

Что общего у этих выражений и чем они отличаются?

2. а)Верно ли, что значение выражения 0,65 + 0,25 · 0,4 – 0,3 можно найти по схеме? Если нет, то нарисуйте другую схему.

_

·

+

б) Сформулируйте известные вам правила выполнения действий с десятичными дробями.

в) При вычислении значения выражения

(4,694 – 3,998) : 4,35 + (4,5 · 5,4 – 0,06)

Ученик составил схему. Часть записей стерлась. Восстановите их.

+

:

-

3. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество:

1. = … + 70ху +…;
2. = … - … + 100;
3. 16 - … = (… + 64а)(… - 64а);
4. = … - 60аn + …;
5. - … = … - 24у + …;
6. … - 0,09 = (… - 0,3у)(0,3у+3z);
7. (… - … = 36 - … +49
8. (… +…) = 25+ 80ху +….

Задания 1 и 2 учат школьников сознательно относится к каждому математическому знаку, а задание 3 учат учащихся выделять отдельные элементы формулы.

Большое значение для развития умений понимать тексты имеют задания, которые учат переводить их содержание на «геометрический» язык. Приведем пример одной из таких заданий:

С помощью рисунка покажите, что для положительных значений переменных a, b и с верно равенство: (a+b+c= + + +2ab + 2ac + 2bc. Используя формулу квадрата суммы, докажите, что данное равенство является тождеством.

ac	bc
ab		bc
	ab	ac

c

b

а

a b c

Таким образом, мы остановились на некоторых приемах, которые позволяют учащихся сознательно относится к таким текстам как формула, задача, числовое выражение, алгебраическое выражение.

2. РАЗВИТИЕ УМЕНИЯ РАБОТАТЬ С УЧЕБНЫМ ТЕКСТОМ.

2.1. Приемы работы с учебным текстом на разных этапах обучения.

В данном параграфе мы остановимся на приемах работы, которые можно использовать на уроках математики и проиллюстрируем примеры их реализации.

Так, например, в работе Л. Ю. Слободян рекомендуются следующие приемы[27]:

1. "Самое главное".
2. "Главные существительные".
3. "Суть".
4. "Заметки на полях".
5. "Лучший конспект".
6. "Вопросы".
7. "Терминологическая дуэль".

Опишем каждый из приемов и приведем примеры его использования.

1.Прием "Самое главное".

Суть этого приема состоит в том, что надо прочитать текст и отразить содержание текста несколькими фразами.
Задание: прочтите текст (раздел, главу), выразите содержание текста только одним словом, самое главное - одной фразой.

Главное - то, без чего текст лишен смысла, "изюминка".

Прочтите текст «Вместо чисел - буквы» из энциклопедии «Аванта +» и выделите самое главное в нем.

ВМЕСТО ЧИСЕЛ — БУКВЫ

В сочинении аль-Хорезми неизвестные вели­чины, так же как и все сопутствующие выклад­ки и преобразования уравнений, выражались словесно. Такой стиль изложения, характер­ный для раннего этапа развития алгебры, ис­торики науки называют риторическим (напом­ним, что риторика — искусство красноречия). Новый великий прорыв в алгебре связан с именем французского учёного XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквен­ные обозначения для коэффициентов уравне­ния и неизвестных величин. А традицией обо­значать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета — Рене Де­карту.

Изобретение Виета позволило гораздо лег­че находить самые общие решения для мно­гих похожих одна на другую задач. Предполо­жим, со станции, находящейся в 160 км от Москвы, в направлении от столицы выезжает поезд со скоростью 85 км/ч. Через какое время он окажется на расстоянии 500 км от Москвы? Как изменится решение, если поезд отправля­ется со станции, удалённой на 395 км от сто­лицы, а скорость его движения 70 км/ч? Эти две задачи отличаются лишь исходными дан­ными, поэтому допускают запись условия в общем виде. Если поезд отправляется из пунк­та, расположенного в а км от Москвы, в проти­воположную от неё сторону со скоростью V км/ч, то для того, чтобы достичь расстояния b км от столицы, ему понадобится время t. Условие выражается уравнением a+Vt=b.

Решая это уравнение относительно неизвест­ного t, находим t=

Это общая формула, которая охватывает все частные случаи для конкретных числовых па­раметров а, b, V. Например, полагая а = 160 км,

b = 500 км, V = 85 км/ч, получаем

t==4 (ч).

Если же a= 395 км, b=500 км, V=70 км\ч, то

t==1,5 (ч).

Формула одна, а решения разные. Поистине «математика — это искусство давать различ­ным вещам одно и то же название». Этот остро­умный и глубокий афоризм принадлежит Анри Пуанкаре, создателю многих современных об­ластей математики. В работе «Наука и метод» Пуанкаре особо выделял способность учёного не просто видеть голые факты, а заглядывать гораздо глубже — познавать душу фактов, про­изводить обобщения: «Простым примером является алгебраическая формула, которая даёт нам решение всех численных задач определён­ного типа, так что достаточно лишь заменить буквы числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выпол­ненное, избавит нас от необходимости повто­рять без конца всё новые и новые численные выкладки».

Слова Пуанкаре необычайно актуальны в наш век всеобщего триумфа компьютерной техники. Умницы-компьютеры научились по­нимать язык алгебраических формул и спо­собны перерабатывать (т. е. вычислять по этим формулам) огромные массивы числовых дан­ных. Нужно только подбирать и вводить исход­ные числа, чтобы получать готовые ответы

Приведем примеры ответов учащихся.

Ответы учащихся:

1)Алгебраическая формула дает решение всех численных задач определенного типа.

2)Математика позволяет решать задачи в общем виде.

2. Прием "Главные существительные".

Суть этого приема состоит в том, что надо прочитать текст (раздел, главу) и выразить содержание (смысл) текста ключевыми существительными.
По ключевым словам-существительным легко воспроизвести изначальный текст.

Задание: прочтите текст, выразите его содержание с помощью нескольких существительных.

РАВЕНСТВА, ВЕРНЫЕ ВСЕГДА

Есть в языке формул одно прекрасное свой­ство — краткость. Например, переместителъный закон сложения: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется» — выражается ла­коничным тождеством

а + b = b + а.

Тождеством в математике называют равен­ство, верное при любых значениях входящих в его состав переменных.

В руках умелого вычислителя тождество ста­новится таким же чудесным инструментом, как скрипка в руках музыканта-виртуоза. Пусть, на­пример, требуется вычислить сумму 23 + 32 +17 + 28. Воспользуемся тем, что слагаемые можно менять местами: эта сумма равна 23 + 17 + 32 + 28 = 40 + 60 = 100.

Здесь неявно использовано и ещё одно важ­нейшее правило алгебраических преобразова­ний — сочетательный закон сложения:

(а + b) + с = а + (b+ с).

Скобки указывают порядок, в котором произ­водятся операции: в первую очередь выполня­ются действия внутри скобок, и в дальнейших вычислениях участвует только их результат. Сочетательный закон утверждает, что при сло­жении порядок действий не важен. Чтобы быстрее подсчитать сумму, надо заменить по­следовательные сложения ((23 + 32) + 17) + 28 таким: (23 + 17) + (32 + 28).

Оба закона, переместительный и сочета­тельный, выполняются и для умножения:

аb = bа, (аb) с = а (bс).

Однако для самых удивительных и красивых алгебраических фокусов требуется владеть распределительным законом, который соеди­няет две операции — умножение и сложение:

а (b + с) = аb + ас.

В математических выкладках этот закон при­меняется по-разному. Если выражение а (b + с) требуется заменить равным ему выражением аb + ас, то говорят, что следует раскрыть скоб­ки, т. е. умножить a на b, a на с и сложить полу­ченные результаты. Главное при этом — не за­бывать, что стоящий за скобкой множитель, как предупредительный официант, обслуживает всех клиентов, находящихся в ограниченном скобками зале. В силу переместительного за­кона умножения а (b + с) = (b+ с) а, т. е. не важно, с какой стороны стоит «официант», — результат обслуживания будет один и тот же. Когда выражение аb + ас заменяется на равное ему а (b + с), говорят, что переменная а выно­сится за скобки. Такое преобразование позво­ляет сэкономить на одной арифметической операции: вместо двух умножений аb и ас и сложения аb + ас достаточно один раз сложить величины (b + с) и один раз умножить а на по­лученный результат.

Выведем с помощью этих законов одно из самых главных и полезных алгебраических соотношений — формулу квадрата суммы:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2,

или, что то же самое,

(а + b) (а + b) = аг + 2аb + b2.

Скобки, стоящие в левой части этого равенства, подсказывают нам воспользоваться распреде­лительным законом: х (у + z) = ху + хz. Нужно только «пригласить актёров»: на роль у назна­чим а, роль z попросим исполнить b, а роль x - скобку (а + b). Такой приём называется под­становкой.

Выполнив подстановку, получим

(а + b) a + b) = (а + b) а +( a + b) b.

Вновь раскроем скобки и приведём подобные:

(a + b)2 = a2 + bа + аb + b2 = а2 + 2аb + b2.

Рисунок 3 объясняет геометрический смысл этой формулы на «языке» площадей прямо­угольников и квадратов. Именно на таком языке изъяснялись математики до изобретения буквенной символики, да и сейчас его отголос­ки слышатся, когда мы называем вторую и третью степени квадратом и кубом. Не правда ли, он прост и нагляден. Но только до тех пор, пока и формулы достаточно просты. В древних

Ab	b2
a2	ab