ЛАВРЕНТЬЕВА Л.В.

ПРИМЕНЕНИЕ АКТУАРНЫХ РАСЧЕТОВ В РИСКОВЫХ ВИДАХ СТРАХОВАНИЯ

_________________________________________________________________________________________________________

Нижний Новгород

2008

Федеральное агентство по образованию

Волжский Государственный инженерно-педагогический университет

ЛАВРЕНТЬЕВА Л.В.

ПРИМЕНЕНИЕ АКТУАРНЫХ РАСЧЕТОВ В РИСКОВЫХ ВИДАХ СТРАХОВАНИЯ

(учебное пособие)

Нижний Новгород

2008

ББК 65.27в631я7

Л 13

Рецензенты

Кандидат экономических наук, директор по страхованию филиала «Оранта-Нижний Новгород» Бабий В.В.

Доктор технических наук, профессор, зам.директора по научной работе НФ МГЭИ Аспидов А.И.

Лаврентьева Л.В.

Применение актуарных расчетов в рисковых видах страхования: Учебное пособие. – Н.Новгород: ВГИПУ, 2008.-92с.

В пособии приведен комплексный финансово-математический анализ, основанный на теории вероятностей и статистики.

Подробно рассмотрены математические методы анализа рисковых ситуаций, расчет тарифных ставок и общие принципы определения премий. Отдельно выделен раздел, посвященный определению вероятности выполнения страховой компанией своих обязательств по портфелю.

Издание адресовано научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам ВУЗов экономических специальностей.

ISBN

Лаврентьева Л.В.-2008

Содержание

Введение……………………………………………………………………4

Раздел 1. Страхование как экономическая категория………………….8

1. Страхование и финансы……………………………………………….9
2. Актуарные вычисления……………………………………………….11
3. Страховой фонд……………………………………………………….13

Вопросы для самоконтроля к разделу 1……………………………...…23

Раздел 2. Актуарные расчеты в страховании…………………………..24

2.1. Основные значения и определения………………………………….29

2.2. Распределения числа выплат по портфелю………………………...32

2.3. Распределения потерь………………………………………………..38

2.4. Распределения выплат…………………………………………….….50

2.5. Сравнение рисковых ситуаций………………………………………52

2.6. Моделирование рисков в страховании. Классификация рисков…62

2.7. Модель индивидуального риска…………………………………….66

2.8. Модель коллективного риска………………………………………..75

Вопросы для самоконтроля к разделу 2……………………………...…81

Раздел 3. Вероятностный метод расчета страховых премий …………82

3.1. Расчет тарифных ставок……………………………………………...82

3.2. Общие принципы определения премий……………………………..83

Вопросы для самоконтроля к разделу 3……………………………...…88

Заключение………………………………………………………………..89

Литература………………………………………………………………...91

ВВЕДЕНИЕ

В современной экономике страхование выступает в роли финансо­вого стабилизатора, позволяющего обществу компенсировать ущербы, которые наступают вследствие непредвиденных случайных событий, наносящих урон государству, бизнесу и населению. Техногенная среда, в которой мы живем сегодня, экологические и социальные условия мно­гократно увеличивают риски, угрожающие человеку, и порождают неви­данные в прежние времена катастрофические убытки.

Финансовые ресурсы, накапливаемые в страховых фондах, не только позволяют осуществлять страховую защиту, но и служат сущест­венным источником инвестирования народного хозяйства. Эти обстоя­тельства делают страхование важной отраслью финансового сектора. Во многих развитых странах мира страховые компании по своей мощ­ности и размерам концентрируемого в них капитала стоят наравне с банками, тесно взаимодействуют с ними.

Значительные изменения в экономической и политической жизни страны в последнее десятилетие предопределили бурное развитие страховой деятельности и, как следствие, необходимость подготовки высококвалифицированных специалистов в области страхования. При этом стремительное развитие компьютерных технологий в мире предъ­являет новые требования к уровню подготовки специалистов - управ­ленцев страхования в высших учебных заведениях страны.

Работа страховых компаний различных организационно-правовых форм в условиях экономической самостоятельности, повышения откры­тости национальных экономик, глобализации хозяйственной жизни фор­мируют высокий спрос на специалистов по страхованию как аналитиков, так практиков - организаторов. Эффективное планирование деятельно­сти страховых компаний, прогнозирование ситуаций на финансовых и страховых рынках, моделирование страховых рисков, оптимизация та­рифных ставок в условиях жестокой конкурентной борьбы требует тщательного и оперативного статистического анализа данных, надежных и обоснованных выводов и прогнозов. В основе этой работы лежит знание общих статистических закономерностей и методов, а их эффективное использование немыслимо без компьютеров и пакетов программ обра­ботки данных. В тоже время представленные в учебных программах вузов, готовящих управленцев по страхованию, курсы теории вероятно­стей, математической, статистики и актуарной математике часто грешат излишней теоретизацией, математизацией и отрывом от практических задач. Студенты, хорошо усвоившие эти курсы, чаще всего совершенно беспомощны в формулировании и решении практических задач. Одним из наиболее эффективных и перспективных путей исправления сло­жившейся ситуации, следует считать более широкое использование компьютерных технологий в преподавании указанных дисциплин, так как в настоящее время ни одно практическое исследование страховых акти­вов не обходится без компьютеров. В настоящее время в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова и ряде вузов Моск­вы, В Волжском Государственном инженерно-педагогическом университете г. Н. Новгорода и других городов накоплен богатый опыт использования пакетов программ обработки данных в учебном процессе. Он неодно­кратно обсуждался на всероссийских и международных конференциях и нашел отражение в учебных пособиях.

Использование пакетов программ обработки данных в ходе прак­тических занятий студентов позволяет решить следующие методологи­ческие задачи:

• дать целостную картину статистического исследования от поста­новки задачи и ввода данных и выбора метода обработки до полу­чение окончательного ответа и оформления отчета на реальных практических
  данных, а не на упрошенном модельном примере;

помочь усвоению основных теоретических понятий (случайной из­менчивости, функции, распределения, гистограммы, квантилей, корреляций и т.п.) посредством графического иллюстрирования и моделирования;

• на практике разобраться в вопросах адекватности выбранной мо­
  дели описания данных и устойчивости статистических выводов;
• познакомить студентов с современными средствами обработки
  данных Vi принятых в них стандартах и терминологией на русском и
  английском языках. Особо следует отметить целесообразность ис­пользования статистических пакетов при выполнении лаборатор­ных, курсовых и дипломных работ. Они позволяют значительно
  расширить круг и содержание тем этих работ, увеличить объемы
  обрабатываемых данных и использовать мощные инструменталь­ные средства современного статистического анализа для решения
  поставленных задач.

При отборе пакетов статистической обработки для применения в учебном процессе основными критериями являются:

• простота освоения;
• полнота предлагаемых методов анализа с учетом объема и те­матики курса;
• гибкий и удобный интерфейс пользователя;
• наличие встроенной информационно-поисковой и\или эксперт­
  ной системы;
• оптимальность по соотношению цена - качество;
• доступность пакета для студентов вне учебных компьютерных
  классов.

Указанным условиях удовлетворяют широко используемые в учеб­ном процессе российские пакеты STADIA и ЭВРИСТА. Из зарубежных пакетов в учебном процессе чаще всего используют пакеты SPSS, STATGRAPHICS, STATISTICA. Подробный обзор этих и других пакетов дан. Типовые лабораторные работы в данном учебном пособии будут проиллюстрированы с помощью оригинального пакета «страховщик», который разработан и используется в учебном процессе и научных ис­следованиях в ВГИПУ г. Н. Новгорода.

Ниже будут рассмотрены организационные и методические вопро­сы использования статистических пакетов в учебном процессе с учетом существующих структур учебных планов. Так же будут приведены при­меры использования статистических пакетов при обучении ряду осно­вополагающих тем по теории вероятностей и математической статисти­ки, без которых в том или ином виде не обходится ни один курс по ука­занны дисциплинам. В частности, нами будут рассмотрены следующие вопросы:

• случайная изменчивость, закон распределения вероятностей и
  числовые характеристики случайных величин;
• оценивание параметров, доверительные интервалы, устойчи­вость оценок;
• взаимосвязь числовых переменных, коэффициенты корреляции
  и линейная регрессия.

В заключительном разделе будут также разобраны избранные примеры из анализа временных рядов и многомерного анализа данных.

Небольшой объем пособия не позволяет включить в настоящую работу другие не менее важные темы, однако авторы надеются это сде­лать в последующих методических выпусках.

Раздел 1. Страхование как экономическая категория

Многообразие объектов, подлежащих страхованию, различия в объеме страховой ответственности и категориях страхователей предопределяют необходимость классификации в страховании. Существуют различные подходы к построению классификационных схем и различия начинаются с целей и критериев, лежащих в основе разрабатываемой классификации. В наиболее обобщенной форме, страхование разделяют на обязательное (в силу закона) и добровольное (в силу договора между страхователем и страховщиком). Далее разделяют страхование на личное и имущественное и т.д.

Основная задача данного пособия – указать способы и подходы к расчету себестоимости и стоимости страховой услуги для того или иного явления, влекущего за собой ущерб, иными словами дать обзор методов актуарных расчетов. Поэтому базой для классификации здесь будут специальные свойства явлений, порождающих катастрофы.

Страхование – один из экономических механизмов стабилизации финансовой устойчивости в условиях риска.

Финансовая устойчивость предприятия – это способность его сохранять количество и качество своих финансовых ресурсов в условиях рынка. Качество финансовых ресурсов измеряется с позиций целей и соответствия потребностям конкретного предприятия. Основная цель любого предприятия в условиях рынка - выживание и развитие. Следовательно, основные критерии финансовой устойчивости – платежеспособность и наличие финансовых ресурсов для дальнейшего развития.

Разнообразные механизмы «уменьшения риска» можно разделить на два типа. Первый – включает в себя механизмы, нацеленные на реальное снижение вероятности катастроф или размеров соответствующих им ущербов. Второй тип состоит из принципиально иных механизмов снижения риска, основанных на перераспределении риска.

1.1. Страхование и финансы

Как экономическая категория страхование представляет систему экономических отношений, включающую совокупность форм и методов формирования целевых фондов денежных средств и их использование на возмещение ущерба при различных непредвиденных неблагоприят­ных явлениях, а также на оказание помощи гражданам при наступлении определенных событий в их жизни!

Страхование - составная часть финансов и находится в соподчи­ненной связи с экономической категорией финансов.

Многообразие объектов, подлежащих страхованию, различия в объеме страховой ответственности и категориях страхователей предо­пределяют необходимость классификации в страховании. Существуют различные подходы к построению классификационных схем и различия начинаются с целей и критериев, лежащих в основе разрабатываемой классификации. В наиболее обобщенной форме страхование разделяют на обязательное (в силу закона) и добровольное (в силу договора между страхователем и страховщиком). Далее разделяют страхование на лич­ное и имущественное и т.д.

Основная задача данного пособия - указать способы и подходы к расчету себестоимость и стоимости страховой услуги для того или иного явления, влекущего за собой ущерб, иными словами, дать обзор мето­дов актуарных расчетов. Поэтому базой для классификации здесь будут некоторые специальные свойства явлений, порождающих катастрофы.

Страхование - один из экономических механизмов стабилизации финансовой устойчивости в условиях риска.

Финансовая устойчивость предприятия - это способность его со­хранять количество и качество своих финансовых ресурсов в условиях рынка. Качество финансовых ресурсов измеряется с позиции целей и соответствия потребностям конкретного предприятия. Основная цель любого предприятия в условиях рынка - выживание и развитие. Следо­вательно, основные критерии финансовой устойчивости - платежеспособность (в произвольный момент времени) и наличие финансовых ре­сурсов для дальнейшего развития.

Разнообразные механизмы «уменьшения риска» можно разделить на два типа [6]. Первый - включает в себя механизмы, нацеленные на реальное снижение вероятности катастроф или размеров соответст­вующих им ущербов. Второй тип состоит из принципиально иных меха­низмов снижения риска, основанных на перераспределении риска. Сю­да, в частности, включаются различные способы страхования, понимае­мого обобщенно, как перераспределение риска между многими участни­ками экономического процесса. Такой вид стабилизации возможен толь­ко при наличии достаточно большого числа экономических единиц, функционирующих в условиях риска, так как он связан с перераспреде­лением ущерба, возникшего в результате случайных событий. У боль­шинства участвующих в перераспределении риска экономических еди­ниц (каждый участник платит взнос) взносы пропадают безвозмездно -они служат только платой за уверенность в возмещении возможного ущерба. Страховщикам приходиться заботиться о своей платежеспо­собности, чтобы выполнить свои обязательства по требованиям клиен­тов. Кроме того, страховой компании нужны способы продемонстриро­вать надежность своей деятельности и, следовательно,

- подавить рост неблагоприятной статистики удовлетворения
требований, связанной с повышением объема риска в некото­рых страховых портфелях, неадекватным контролем за управ­лением, природными катаклизмами.

- Решать проблему высоких уровней инфляции.
Основные задачи страховщика:

• вычисление размеров вносимых взносов, обеспечивающих воз­можные выплаты и затраты по договорам страхования;
• разработка инвестиционных программ;

расчет адекватных технических резервов для покрытия обяза­тельств по уже заключенным сделкам;

выработка программы работы с рисками, обеспечивающей финан­совую устойчивость страховщика.

1.2. Актуарные вычисления

Процесс, в ходе которого определяются расходы, необходимые на страхование того или иного объекта, называют актуарными расчетами. В более обобщенной форме актуарные расчеты можно представить как систему математических закономерностей, регламентирующих взаимо­отношения между страховщиком и страхователями. С помощью актуар­ных расчетов определяется доля участия каждого страхователя в соз­дании страхового фонда [1].

Актуарная калькуляция включает в себя ряд базовых аспектов. В первую. Очередь, определение себестоимости услуги, оказываемой страховщиком. В состав актуарной калькуляции входит исчисление до­ли расходов на ведение дела по обслуживанию договора страхования. Создаваемые за счет взносов страхователей страховые фонды должны обеспечивать финансовую устойчивость страховой компании [7].

Основные задачи актуарных расчетов:

• исчисление и группировка рисков в рамках страховой совокуп­ности, иными словами классификация рисков с целью создания
  однородных подсовокупностей в рамках общей страховой сово­купности;
• оценка частот страховых событий;
• определение распределений ущерба в случае страхового собы­тия по отдельным рискам и по совокупностям;
• обоснование расходов на ведение дела тенденций их измене­ний.

Применение актуарных методов в общем страховании распреде­ляется на управлении финансами страховщика, включая платежеспо­собность и налогообложение; оценку риска и политику собственного удержания в перестраховании [8].

Можно выделить следующие главные черты общего страхования, представляющие интерес с точки зрения актуарной деятельности:

• теоретически не существует предела числу требований, которое
  может быть предъявлено за один отчетный период;
• величина требования практически никогда не может быть из­вестна заранее и может сильно варьироваться.

Страхование является, как уже было сказано выше, составной ча­стью финансов и находиться в соподчиненной связи с экономической категорией финансов. Поэтому можно рассматривать финансовую сис­тему страховой компании как совокупность денежных потоков и фондов, образующихся в процессе осуществления компанией своей деятельно­сти. В самом общем виде деятельность страховой компании можно раз­делить на две части - непосредственно страхование и инвестирование. Мы затронем только проблемы, относящиеся к страхованию. Страхова­ние возникло в ходе развития общественного производства как способ обеспечения его непрерывности и бесперебойности. Воспроизводствен­ный процесс подвержен риску прерывания в следствии действия раз­личных факторов как со стороны природы, так и со стороны общества. Это создает угрозу имущественным интересам участников воспроизвод­ственного процесса. Защита имущественных интересов является назна­чением страхования. Непосредственно страховую деятельность как фи­нансовую систему можно разделить на две основные составляющие -образование и расходование страхового фонда. Рассмотрим каждую их них в отдельности и сам страховой фонд с позиции обоснования необ­ходимости применения финансово-математического анализа.

1.3. Страховой фонд

Страховой фонд как составная часть финансов страховой организации

Непосредственным носителем финансовых отношений являются фонды. Под страховым фондом мы будем понимать сумму средств, образованную путем сбора премий и предназначенную для выплат страховых возмещений. Страховой фонд. — "промежуточное звено" между сбором премий и выплатами.

Основные типы страховых резервов

В системе учета страховой компании (как бухгалтерского, так и управленческого) общее понятие страхового фонда трансформи­руется в совокупность конкретных резервов. Форму резервов определяют задачи их образования. Каждый из резервов имеет свою задачу, но все они объединены общей целью — обеспечить платежеспособность компании. Схематично очертим круг вопросов, с которыми сталкивается страховая компания при формировании резервов. При этом будем исходить не из нормативно утвержденных в России Правил формирования страховых резервов, а из указанной цели их формирования и более соответствующей этой цели зарубежной практики (в частности, английской). Разделим резервы на следующие группы:

• Резерв незаработанной премии.
• Резервы неоплаченных требований:
• резерв заявленных, но не урегулированных убытков;
• резерв произошедших, но не заявленных убытков.

* Накопительные резервы:

• резерв катастроф;
• резерв колебаний убыточности.

При оценивании каждого из приведенных резервов у страховой компании возникают следующие проблемы:

1. При определении резерва незаработанной премии, если стоимость риска неравномерно распределена во времени действия договора (вследствие сезонности или инфляции), необходимо привести в соответствие размер резерва со стоимостью обязательств компании.

2. При определении резерва произошедших, но не урегулированных убытков, надо учесть инфляцию в период урегулирования требований, инвестиционный доход за этот же период, неадекватность требований в момент их первоначального предъявления и реальной стоимости ущерба.
3. При определении резерва произошедших, но не заявленных убытков, необходимо спрогнозировать размер обязательств компании, которые уже возникли, но о которых еще ничего не известно.
4. При расчете резерва катастроф необходимо прогнозировать последствия катастрофического события, которое могло бы существенно увеличить обязательства страховой компании по группе договоров, до этого предполагавшихся независимыми.

5. При определении резерва колебаний убыточности надо определить возможное увеличение выплат по всему портфелю, которое может быть вызвано влиянием очень большого количества факторов.

Очевидно, что эти задачи нельзя решить без использования методов финансово-математического анализа. Поэтому разработка методологии определения страховых резервов исторически является одной из областей применения актуарных методов.

Границы страхового фонда

Страхование относится к области перераспределительных отно­шений, реализующихся через солидарную замкнутую раскладку ущерба. Поэтому необходимо определить круг объектов, страховой фонд по которому будет обособлен от страховых фондов по другим объектам. Проблема установления границ перераспределения достаточно сложна. С одной стороны, страхование затем и существует, чтобы из суммы, образованной взносами всех страхователей, был возмещен ущерб тем из них, у кого он возник.

С другой стороны, было бы несправедливо объединять разнородные застрахованные объекты с совершенно различными факторами риска в один страховой фонд и устанавливать для них одинаковые средние ставки — в таком случае носители меньшего риска будут частично финансировать носителей риска большей степени. Но двух объектов, подверженных абсолютно одинаковому риску, быть не может, следовательно, необходимо устанавливать границы однородности объектов.

В Российской Федерации в перечень документов для получения лицензии на проведение страховой деятельности входит расчет тарифов. Это подразумевает ограничение страхового фонда как минимум тем видом страхования, на который выдается лицензия. Такое минимальное обособление страхового фонда аргументируется тем, что виды страхования отличаются объектами страхования, и. следовательно, — факторами риска, действующими на эти объекты. Факторы риска, в свою очередь, определяют вероятность наступления страхового случая и размер наносимого застрахован­ному объекту ущерба. В пользу такого обособления можно привести также следующий аргумент. В случае ограничения лицензии на осуществление страховой деятельности по какому-либо виду страхования будет нарушена система функционирования финансов данного вида страхования в данной страховой органи­зации.

Страховой фонд по этому виду страхования обособлен и поэтому не нарушит возможности выполнения страховщиком своих обязательств по договорам страхования других видов и в минимальной степени повлияет на финансовую устойчивость страховой организации в целом. Таким образом, необходимо определить границы страхового фонда и, следовательно, принципы однородности объектов страхования. Так как страхование охваты­вает достаточно широкий круг объектов, то очевидна возможность применения для решения этой задачи статистических методов. Дифференциация объектов страхования внутри одного вида не регламентируется и проводится по усмотрению страховой компа­нии. Такая дифференциация проходит в любом случае в виде разделения тарифов для конкретных объектов, которая относится к области оценки принимаемого на страхование риска. Данная оценка может осуществляться только при наличии достаточно большого объема статистической информации путем факторного анализа, позволяющего выявить факторы риска и провести их количественную оценку.

Формирование страхового фонда

Страховой фонд формируется путем заключения договоров страхования и получения страховых премий. Сумма страховой премии является одним из важнейших условий договора. Премия - это цена производимого страховой организацией продукта, страховой услуги. Страховая компания принимает на себя риск
неблагоприятного события, которое может нанести ущерб объекту страхования и взимает за это плату. Основу страхования как финансовой системы составляют перераспределительные отношения собранные со всех страхователей премии перераспределяются между теми, чьи имущественные интересы могут пострадать
вследствие страховых случаев. Риск, относящийся к имущественному страхованию, чтобы быть принятым на страхование, должен обладать следующими характерными чертами:

случайный характер потерь;

наличие возможности измерения потерь;

наличие возможности расчета вероятности появления потерь.

Важнейшим условием определения цены страхового продукта является вероятностная сущность принимаемого на страхование риска. Страховая компания устанавливает цену в начале действия договора страхования и, в отличие от общества взаимного страхования, не может установить дополнительный взнос при нехватке собранных средств на выплаты страховых возмещений. В силу вероятностных характеристик, определяющих конкретное воплощение страхового продукта, его себестоимость может быть определена только после его продажи, точнее — по завершении всех договоров, взносы по которым образовали страховой фонд. Это означает, что определить страховой тариф можно лишь с некоторой степенью вероятности его соответствия тому объему услуг, который будет оказан в будущем. Таким образом, страховая компания, принимая на себя риски по конкретным договорам страхования, как бы трансформирует их для себя в единый риск по портфелю. Этот риск выражается в возможности невыполнения компанией обязательств по заключенным договорам, т.е. в нехватке средств на выплату страховых возмещений. Так как средства на выплату аккумулируются путем сбора премий, то возникает задача определения цены страхового продукта в условиях неопределенной его себестоимости. Инструментом для решения этой задачи служит финансово-математический анализ. Для определения тарифов приходится опираться на существующую тактику, делая поправки на изменение прогнозируемой ситуации по сравнению с исходной. С помощью математических методов возможно на основе имеющейся статистики прогнозировать с заданной степенью вероятности общий размер выплат в будущем, и следовательно, — необходимый размер страхового фонда и себестоимость страховых услуг.

Еще одним из условий договора страхования, относящихся к процессу формирования страхового фонда, является порядок оплаты страховой премии. Очевидно, что если предоставляется рассрочка для оплаты премии, то размер премии должен быть выше, чем при единовременной уплате. В таком случае необходимо учесть инвестиционный доход за время рассрочки и то, что рассрочка предоставляется для премии, но не для выплаты возмещения при страховом случае. Необходимо так рассчитать размер премии, чтобы средств хватило для выполнения обяза­тельств в любой момент действия договора.

Важным обстоятельством при анализе процесса формирования страхового фонда является такое условие договора страхования, как франшиза. Если применяется безусловная франшиза (в абсолютной сумме или в доле ущерба), то при страховом случае сумма франшизы всегда вычитается из суммы ущерба. При условной франшизе ущерб возмещается полностью, если он превышает сумму франшизы, и не оплачивается, если нет. Применение франшизы означает для страховой компании, что ее ответственность по договору меньше, чем без франшизы. Объем услуг, оказываемых страхователю, в этом случае уменьшается и, соответственно, должна уменьшиться плата за эти услуги — страховая премия, т.е. должны уменьшиться поступления в страховой фонд. Как уже отмечалось, расходование средств страхового фонда главной своей особенностью имеет вероятностный характер. Страховая компания должна сбалансировать определен­ное уменьшение финансового потока, образующего страховой фонд, и неопределенное уменьшение потока, его расходующего. Инст­рументом здесь являются математические методы, позволяющие с заданной вероятностью оценить уменьшение выплат вследствие применения франшизы и, используя эту оценку, определить размер соответствующего уменьшения страховой премии.

Таким образом, необходимость применения финансово-матема­тических методов при анализе этапа формирования страхового фонда как составной части финансов страховой компании, обусловлена вероятностным содержанием задач, решаемых стра­ховой компанией на этом этапе. Компании необходимо образовать страховой фонд путем сбора страховых премий. Средств этого фонда должно хватить для выплат страховых возмещений в будущем. Иначе говоря, перед компанией стоит задача сбаланси­ровать определенные поступления в данный момент с неопреде­ленными расходами в будущем. Математические методы позволяют построить модель случайных будущих выплат и на их основе рассчитать количественные характеристики финансового потока, образующего страховой фонд, — размер страховых тарифов, порядок оплаты премии, размер и условия франшизы.

Расходование средств страхового фонда

За этапом формирования страхового фонда следует этап его расходования. На этом этапе страховая компания реализует свое назначение — обеспечивает страховую защиту круга застрахован­ных объектов. Вследствие главной характеристики страхуемого риска — случайного характера потерь — финансовый поток выплат страховых возмещений имеет вероятностный характер. Для страховой организации важнейшим является обеспечение доста­точности страхового фонда для выполнения своих обязательств по договорам страхования, т.е. для осуществления страховых выплат. Заранее неизвестно, кому и в каком размере будет выплачено страховое возмещение. Таким образом, сумма обязательств страховой компании по заключенным договорам страхования точно неизвестна в момент заключения договоров (момент принятия этих обязательств). Поэтому выполнение в будущем страховой компанией своих обязательств имеет вероятностный характер. Чрезвычайно важно спрогнозировать эту вероятность, чтобы принять меры по обеспечению платежеспособности в течение срока действия договоров страхования. В соответствии с этим большое значение имеет финансовый анализ всех составляющих процесса выплат — их количество, размер, время осуществления. Финан­сово-математический анализ позволяет установить закономерности случайного процесса выплат и спроецировать эти закономерности на предстоящий период с учетом ожидаемых изменений. Необхо­димый инструментарий для такого анализа дают математические методы.

Государственное регулирование в расчетах размеров страховых фондов

Рассмотрим необходимость работы в области финансово-мате­матического анализа, вытекающую из нормативных требований государственных органов. Как уже упоминалось нами выше, в России для получения лицензии страховая компания должна среди прочих документов представить расчет тарифов. Расчеты тарифов по имущественным видам 'страхования должны быть произведены в соответствии с "Методикой расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования" (утверждена распоряжением Росстрахнадзора № 02-02-36 от 08.07.93 г.) или на основе других методик, обоснованность которых подтверждена использованием математи­ческих методов, учитывающих специфику страховых операций. Рассчитанные таким образом тарифы являются минимальными, обеспечивающими выполнение страховой компанией обязательств по договорам страхования. Необоснованное снижение размеров страховых тарифов является основанием для дачи предписания страховой организации в соответствии с "Положением о порядке дачи предписания, ограничения, приостановления и отзыва лицензии на осуществление страховой деятельности" (утв. прика­зом Росстрахнадзора № 02-02/17 от 19.06.95 г.). Понижение залицензированных тарифов (точнее — нетто-ставки) по видам страхования иным, чем страхование жизни, не требует согласо­вания и представления в Росстрахнадзор и проводится с учетом фактически сложившейся убыточности страховых операций по страхованию соответствующих рисков за период не менее года на основании методики расчета страховых тарифов по данному виду страхования, согласованной с Росстрахнадзором яри получении лицензии (в соответствии с письмом Росстрахнадзора от 22.03.96 г. № 05/1-28р/07 "О порядке внесения изменений и дополнений в документы, явившиеся основанием для выдачи лицензии на страховую деятельность"). Из перечисленных документов видно, что контроль за установлением страховых тарифов является довольно либеральным. Страховая компания вправе сама опреде­лить методику расчета. Если эта методика отличается от рекомендованной Росстрахнадзором, ее надо утвердить в Депар­таменте страхового надзора. Регламентируется лишь нижний предел ставок, их завышение оставлено на усмотрение компании. При этом компания вправе изменить и нижний предел на основе сложившейся убыточности за период не менее года. Использование данных за один год в ряде случаев нельзя признать приемлемым для адекватной оценки производимых страховых операций и понижения размеров тарифов.

Актуальная работа, связанная с определением порядка формирования технических резервов, регламентируется Прави­лами формирования страховых резервов по видам страхования иным, чем страхование жизни (утв. приказом Росстрахнадзора № 02-02/04 от 18.03.94 г.). Но в этих Правилах указывается также, что страховщик может использовать иные, чем предусмот­ренные в настоящих Правилах, методы формирования технических резервов по согласованию с Департаментом страхового надзора. К области нормативного регулирования относится и требование о максимальной ответственности по отдельному риску по договору страхования, которая не может превышать 10% собственных средств страховщика, установленное Условиями лицензирования.

Нормативно закрепленные требования к профессиональной подготовке специалистов в области актуарной математики в России в настоящее время отсутствуют, но работа в этом направлении уже ведется. Готовится проект закона об актуарной деятельности. В печати периодически поднимается вопрос о необходимости введения института профессиональных актуариев, их аттестации, • обязательного актуарного аудита страховых компаний независи­мыми профессиональными актуариями. Если эта идея будет воплощена в жизнь, то можно будет говорить об усилении государственного контроля за страховой деятельностью. Принесет ли это пользу самим страховым организациям, будет зависеть от уровня и качества реализации этой идеи.

Таким образом, из сущности страховой деятельности и из нормативных требований вытекает необходимость применения методов финансово-математического анализа как составной части экономического анализа деятельности страховой компании. Причем главной причиной такой необходимости является именно сущность финансовой системы страхования, тесным образом связанной с категориями риска, случайности и вероятности. Применение математики в страховании не может и не имеет целью дать ответы на все вопросы. Любая модель имеет свои допущения, свои границы применения, свою точность результатов. Дать идеально точное описание всех факторов и их количественную оценку невозможно, так как объем информации, необходимый для этого, нереально даже просто собрать, а тем более обработать и проанализировать. Использование финансово-математического анализа должно быть одним из инструментов управления организация и обеспечения ее финансовой устойчивости.

Проблема обеспечения финансовой устойчивости страховой компании является комплексной, ее изучение и решение требуют усилий специалистов в разных областях — руководства компаний, юристов, экономистов. Многие важные задачи в этой области носят чисто математический характер. В рамках специальной математической теории — теории риска — разработана система понятий моделей и методов, позволяющих количественно оценить финансовые риски в деятельности страховой компании. В силу решающего значения факторов случайности общематематической базой для теории риска является теория вероятностей и математическая статистики.

Вопросы для самоконтроля к разделу 1

1. Дайте определение понятий страхование, финансы, страховой фонд.
2. Как страховой фонд связан с экономическим потенциалом общества?
3. Как осуществляется государственное регулирование в расчетах страховых фондов?
4. Как осуществляется расходование средств страхового фонда?
5. Обоснуйте необходимость применения методов финансово-математического анализа как составной части экономического анализа деятельности страховой компании.
6. В чем заключаются особенности актуарных расчетов?

Раздел 2. Актуарные расчеты в стра­ховании.

Понятие риска

В различных источниках можно встретить самые разнообразные толкование этого понятия. Например:

• риск - единственное случайное событие, которое наступает во­преки воле человека [1];
• риск - нечто, что может произойти, а может и не произойти. Риск
  - это гипотетическая возможность наступления ущерба, и т.д.

в основе страховой деятельности лежат рисковые виды страхова­ния, при которых вероятность наступления страхового события отлична от нуля.

Таким образом, анализируя различные подходы к определению риска в страховании, можно привести четкое «интегральное» определе­ние риска.

Страховой риск - 1) вероятность страхового события. Выражается объем возможной ответственности страховщика по тому или иному виду страхования. Определяется на основе данных статистики, эмпирически и на основе теории вероятностей. Достоверность страхового риска про­веряется с помощью построения различных экономико-математических моделей (актуарные расчеты). Имеет важное значение для определения размера страхового фонда; 2) страховой случай [3].

Виды рисков.

Риски, поддающиеся страхованию, разделяют на:

1. страхование жизни
2. страхование иное, чем страхование жизни

Такое разделение обусловлено рядом принципиальных отличий риска смерти от прочих видов риска. Во-первых, в случае страхования жизни наступление страхового случая возможно только однажды и оно прекращает действие договора. Во-первых, величина риска (а именно, вероятность смерти) зависит от возраста застрахованного и возрастает со временем, по прочим же видам риск можно считать постоянным во времени.

Во второй категории подразумевают следующие виды риска:

• страхование ответственности на неопределенную сумму, кото­рое не является пропорциональным и может не иметь, но обыч­но имеет лимит гарантий. Такое страхование носит компенсаци­онный характер. Страхование гражданской ответственности оп­ределяется в Гражданском кодексе РФ. Спектр видов страхова­ния ответственности широк и продолжает расти. Приведем наи­более распространенные виды:
• гражданская ответственность владельцев недвижимости за
  ущерб; который они могут причинить соседям, третьим лицам
  или их арендаторам, гражданская ответственность арендаторов
  за возможный ущерб соседям или собственнику;
• гражданская ответственность владельцев транспортных
  средств. В экономической сфере деятельности встречается
  профессиональная гражданская ответственность, гражданская
  ответственность руководителей предприятий за несчастные
  случаи, произошедшие с их персоналом, ответственность за за­грязнение окружающей среды, риски ядерного загрязнения и т.д.
  в некоторых странах (например, во Франции) введены неограниченные гарантии как за телесные повреждения, так и за матери­альный ущерб.

В нашей стране среди приоритетных направлений страховой дея­тельности выделяют, в частности, страхование ответственности и такие его виды, как:

• страхование гражданской ответственности владельцев авто­
  транспортных средств;
• страхование ответственности за невыполнение обязательств;
• страхование профессиональной ответственности аудиторов и
  деятельности нотариусов, занимающихся частной практикой.

При этом на долю страхования различных видов ответственности приходиться по данным 1994 года 4,2% от общего объема страховых премий по всем видам страхования;

• страхование имущества, страховая стоимость которого может
  быть определена. Если страховая сумма меньше стоимости за­страхованного имущества, то такое страхование также пропорционально и как страхование ответственности носит компенса­ционный характер;
• страхование специальных рисков, сюда относят риски, вероят­ность реализации которых за один год не может быть оценена, что вызывает необходимость заключения договоров на более длительные сроки. Здесь же рассматривают риски, связанные сочень редкими явлениями, но ущерб по которым может иметь катастрофические размеры;
• предпринимательские риски. Здесь подразумеваются риски
  финансовых потерь, связанных с мошенничеством, небрежно­стью или халатностью служащих, а также риски, связанные с понижением доходов:
• риск предпринимателя, вложившего в дело свои средства, свя­занный с возможностью недополучения прибыли или потери вложенных средств;
• риск кредитора;
• риски финансовых потерь, связанные с возможным уменьшени­ем денежной единицы;
• собственные риски страховой компании. Для обеспечения безо­пасности от собственных рисков страховая компания не может использовать страховой фонд. Собственные риски страховой компании могут быть классифицированы в соответствии с при­чинами, их порождающими. Так, например:
• сформированный страховой фонд не достаточен для выплаты
  возмещений;
• перестраховочный риск;
• управленческий риск;
• имущественный риск.

Приведенный список рисков, возможно, не является полным, но в данном рассмотрении мы будем касаться только этих рисков.

Фактор риска и необходимость покрытия возможного ущерба в ре­зультате его проявления вызывают потребность в страховании. Много­образие форм проявления риска, частота и тяжесть последствий его проявления вызывают необходимость тонкой организации страхования.

Из широкого спектра различных рисков выделим те, которые под­даются страхованию. Следуя признакам таких явлений, укажем главные характеристики таких рисков.

1. Очевидно, что могут рассматриваться только массовые явле­ния, имеющие тенденцию к бесконечному повторению. Следовательно, для каждого такого явления можно говорить о вероятности его наступ­ления.

2. Кроме того, эти явления должны носить объективный харак­тер, т.е. не зависеть от проявления чьей-либо воли.
3. И, наконец, ущерб, производимый данными событиями, дол­жен поддаваться исчислению. Под этим понимается не только сущест­вование верхней оценки потерь, сколько возможность значение их выра­зить в денежных единицах.

В рамках теории риска разработана система понятий, моделей и методов, позволяющих количественно оценить финансовые риски в деятельности страховой компании. Некоторые из них являются предме­том данного рассмотрения.

В своем изложении для удобства под риском будем понимать следующее.

Пусть случайные величины N,Y,X описывают: N - число страхо­вых случаев на один договор, Y - величину возможных потерь на один страховой случай (при условии, что он произошел), X - размер потерь страховой компании в результате наступления страховых случаев.

Пусть наступление страхового случая за один период страхования характеризуется вероятностным распределением fn(x), а потери, воз­можные в результате одного страхового события, описываются вероят­ностным распределением fx(x). Пару (Fv(x);Fxотбудем называть рис­ком. Для удобства изложения разделим риск клиента (Fx(x);Fr(x))v\ риск страховой компании, связанный с договором данного клиента (Fv(x);FY(z)). Смысл этого деления состоит в следующем. Клиент имеет риск (F,j(x);Fr(x)), что означает, что для него страховое событие происхо­дит согласно распределению вероятности fx числа страховых случаев, а потери, которые могут произойти в результате страхового события, опи­сываются случайной величиной Y, имеющей распределение fy. Для страховой компании, заключивший договор страхования данного риска клиента, этот договор индуцирует риск (рм(х\,рх(х)), имеющий тоже распределение числа случаев f», что и риск клиента, а потери компании состоят в выплатах, которые она будет предпринимать по искам данного клиента. Эти выплаты описывает случайная величина X, имеющая рас­пределение fx. Случайные величины Y и X зависимы, но не одинаковы.

Множество дискретных распределений случайных величин обо­значим как, а множество непрерывным распределений случайных ве­личин обозначим как F. Таким образом понятно, что FN e всегда. Часто используется биноминальное, пуассоновское и геометрическое распре­деления числа требований. Распределения потерь могут быть как дис­кретными, так и непрерывными.

Итак, этап первый - выяснение риска - подразумевает следую­щие шаги:

1.Определение класса принадлежности изучаемого риска.

2.Оценка вероятностных распределений потерь и числа случаев,
определяющих риск.

3.Выбор методов проверки адекватности получаемой на первом
шаге оценки риска.

2.1. Основные значения и определения

Будем рассматривать один вид страхования исходя из того, что он должен быть по крайней мере безубыточен, т.е. портфель объединен одним страховым фондом. Как отмечалось выше, финансовые потоки, образующие и расходующие страховой фонд, тесно связаны с категорией вероятности. Поэтому возможно описать финансовую систему страхования в терминах теории вероятностей. Введем следующие обозначения, которые будут использоваться при описании всех задач (в случае их изменения на это будет специально указано):

п — число договоров в исследуемом портфеле;

Ni — количество исков от договора с номером

М — число договоров, предъявивших хотя бы один

иск. Если по договору возможно не более
одного иска, то ;
— вероятность страхового случая для договора с номером i.

Везде, где не будет дополнительных оговорок, будем предпо­лагать, что портфель однороден относительно вероятности страхо­вого случая, то есть

Si — страховая сумма по договору с номером /;

— размер j-го по порядку возмещения, выплачиваемого по договору с номером i;

-
— относительное страховое возмещение по договору с номером i;

Большинство приведенных характеристик страхового портфеля имеют случайную природу, для анализа которой понадобятся следующие функции и числовые характеристики.

Пусть — некоторая дискретная случайная величина, принимающая значения с некоторыми вероятностями

Пусть — непрерывная случайная величина, имеющая плотность и функцию распределения

Среднее значение (математическое ожидание, первый мо­мент) для К и Z равны, соответственно

Математическое ожидание случайной величины означает то, "что ожидается в среднем за достаточно продолжительный промежуток времени". В частности, для К математическое ожидание ЕК — среднее ожидаемое число исков от однородного портфеля за "обычный" интервал времени.

Второй момент для К и Z равны, соответственно

Дисперсия случайной величины определяется как разность второго момента и квадрата первого момента:

(2.3)

Дисперсия представляет собой среднее квадратичное отклонение значений случайной величины от ее математического ожидания, т.е. дисперсия оценивает уровень возможных флуктуации случай­ной величины.

Среднеквадратичным отклонением случайной величины называют арифметический корень из ее дисперсии .

Коэффициентом вариации случайной величины называют отношение ее среднеквадратичного отклонения к среднему значе­нию .

Производящая функция дискретной случайной величины К — функция вспомогательного аргумента t, определенная как

Преобразование Лапласа неотрицательной непрерывной слу­чайной величины Z — функция вспомогательного аргумента t, определенная как

Преобразования Лапласа и производящие функции обладают целым рядом замечательных свойств.

Мы будем использовать то, что среднее и дисперсия случайной величины могут быть найдены при помощи определенных выше

функций следующим образом:

t =1 t =1 (2.6)

t = 0 t = 0 (2.7)

Кроме того, мы будем использовать тот факт, что для независимых случайных величин производящая функция (преоб­разование Лапласа) их суммы равно произведению производящих функций (преобразований Лапласа) слагаемых

2.2. Распределения числа выплат по портфелю

Число выплат по портфелю является дискретной случайной величиной и может принимать значения 0, 1, 2, 3,... с некото­рыми вероятностями. Для определения вероятного числа выплат определяющее значение имеет такая характеристика случайной величины, как ее распределение рk = P (N = k):

Предположим, что фактические значения случайной перемен­ной N за некоторое количество периодов в прошлом известны. На основании имеющихся данных можно рассчитать выборочные оценки для среднего значения и дисперсии числа исков. Обозначим их как MN и DN соответственно. Тогда основная задача состоит в подборе такого гипотетического распределения вероятностей для N, которое соответствует с некоторой заданной точностью наблюдаемым значениям N. В этой главе мы не рассматриваем способы проверки адекватности подобранного распределения фак­тическим данным (это будет сделано в главе 4), а лишь укажем, как можно подбирать параметры распределений. Наиболее рас­пространены следующие распределения.

Биномиальное распределение

Предположим, что для всех договоров некоторого портфеля страховое событие может реализоваться за время действия договора только один раз и вероятность того, что оно произойдет, одинакова для всех и равна д. Тогда общее число исков по данному портфелю за фиксированный промежуток времени будет иметь биномиальное распределение вероятностей. Это означает, что

Производящая функция биномиального распределения

Отсюда легко рассчитать числовые характеристики — среднее значение и дисперсию биномиальной случайной переменной:

0,30000

0,25000

0,20000

0,15000

0,10000

0,05000

0,00000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис 1. Биномиальное распределение общего числа выплат по портфелю в диапа­зоне [0,10 ]; для портфеля из 200 договоров с вероятностью страхового случая 0,01.

Пример 1. Для портфеля из 200 договоров с вероятностью страхового случая 0,01 графическое распределение общего числа выплат по портфелю в диапазоне [0, 1] представлено на рис. 1.

Распределение Пуассона

На практике во многих случаях число договоров достаточно велико, а вероятность страхового случая q мала. В случае, если среднее число выплат nq за рассматриваемый период является некоторым постоянным числом Я, то биномиальное распределение можно приблизить более простым — распределением Пуассона:

0,30000

0,25000

0,20000

0,15000

0,10000

0,05000

0,00000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 2. Распределение Пуассона на интервале [0, 10] в случае, если среднее число выплат nq за рассматриваемый период является некоторым постоянным числом (пример 1).

Применительно к нашему примеру распределение Пуассона на интервале [0, 10] графически будет выглядеть, как на рис. 2. Производящая функция распределения Пуассона

Нетрудно рассчитать, что среднее значение и дисперсия равны :

Пуассоновское распределение может применяться и в том случае, если по договору может быть несколько выплат. В этом случае q = число выплат/число договоров.

Пуассоновское распределение играет очень важную роль в

страховой математике, так как оно может применяться при

соблюдении следующих условий:

• во время коротких временных интервалов может быть предъявлено не более одного требования о выплате;
• вероятность предъявления требования в течение временного интервала пропорциональна длине интервала и не зависит от его положения во времени;
• количества требований, предъявленных в непересекающиеся интервалы времени, независимы.

Очевидно, что выполнения этих условий можно с приемлемой точностью ожидать от реального процесса предъявления требований о выплате страховых возмещений.

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина N имеет геометрическое распределение вероятностей, если оно задано как

Производящая функция геометрического распределения

Среднее значение и дисперсия равны соответственно

Пример 2. Пусть выборочное среднее число исков для некоторого портфеля договоров равно 0.2. Тогда EN = q/(1 — q) = 0.2, следовательно, q = 1/6. Гистограмма гео­метрического распределения для этого случая представлена на рис. 3.

Р(К = к)

Рис. 3. Гистограмма геометрического распределения исков для случая (пример 2), когда выборочное среднее число исков для некоторого портфеля договоров равно 0.2 (EN = q/(1 - q) = 0.2, q = 1/6).

Геометрическое распределение является частным случаем а = 1 более общего и сложного распределения — отрицательного биномиального.

Отрицательное биномиальное распределение

Число выплат также можно приблизить отрицательным бино­миальным распределением с параметрами q и :

Производящая функция отрицательного биномиального распре­деления

Отсюда без труда могут быть рассчитаны числовые характе­ристики.

Среднее и дисперсия отрицательного биномиального распреде­ления равны соответственно

Для отрицательного биномиального распределения дисперсия больше среднего, что дает возможность в некоторых случаях надеяться на более адекватный результат.

Пример 3. Пусть для некоторого портфеля известно, что оценки среднего значения и дисперсии равны соответственно Mn = 2 и Dn = 3. Тогда параметры отрицательного биномиаль­ного распределения могут быть найдены как решения системы из двух уравнений

относительно переменных q и а. Решая систему, получаем, что q=1/Зи = 4. Гистограмма распределения для рассматрива­емого примера представлена на рис. 4.

Рис. 4. Гистограмма распределения исков для некоторого портфеля страховых договоров (пример 3).

2.3. Распределения потерь

За исключением редких случаев (таких, как уже упоминав­шееся страхование только на случай полной гибели), в имуще­ственном страховании размер возмещения может принимать любое значение от нуля до страховой суммы. Это означает, что случайные величины (j-е по порядку страховое возмещение по договору с номером i) и Xi (сумма страхового возмещения, выплаченного по i-му договору за период его действия при условии, что страховой случай произошел) являются непрерывными слу­чайными величинами. Природа непрерывной случайной величины А может быть описана функцией распределения вероятностей

или плотностью распределения вероятностей (если она существует)

Распределение случайной величины — одно из основных понятий теории вероятностей, играющее также очень важную роль в актуарной математике. Для страховой компании принимаемый на страхование риск потери — это отрицательная по своим возможным экономическим последствиям случайная величина. Значение ее характеристик позволяет дать ей стоимостную оценку, а также дать прогноз финансового состояния компании.

Пусть имеются фактические значения ущерба, который был понесен одинаковыми объектами в результате страхового случая на протяжении некоторого времени. Тоща можно считать, что известны выборочные оценки для среднего значения и дисперсии случайной величины Y, описывающей возможные потери в результате страхового случая. Обозначим их значения как Му и Dy соответственно. Тогда, как и прежде, возникает задача подбора гипотетического распределения Fy(x), наилучшим образом отвеча­ющего фактическим данным. Здесь, как и прежде, мы не ставим задачи проверки гипотезы о виде распределения (это будет сделано в главе 4). В этом параграфе мы лишь укажем некоторые часто применяемые распределения и то, как подбирать их параметры. В актуарной литературе применяются следующие непрерывные распределения для описания убытка по одному договору и по одному страховому случаю:

Равномерное распределение

Случайная величина У имеет равномерное распределение на отрезке

[а, b], если ее плотность постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:

Графически равномерное распределение убытка для этого случая представлено на рис. 5.

Рис. 5. Графики функции распределения вероятностей и плотности вероятностей, равномерно распределенной на интервале [а, Ь] случайной величины.

Преобразование Лапласа для равномерно распределенной слу­чайной величины

Средние потери и дисперсия равны соответственно

Пример 4. Пусть для некоторого объекта страхования убытки, возможные в результате, скажем, пожара, равномерно распределены от нуля до полной стоимости объекта. Пусть стоимость объекта оценена в 120 ден. ёд. Тогда средние потери для этого объекта равны ЕY = (120 — 0)/2 = 60, а дисперсия — VarY = (120 - 0)2/12 = 1200.

Очевидно, что в большинстве реальных случаев равномерное распределение не подходит для описания размера ущерба. На практике убытки разных размеров имеют разную вероятность возникновения. Для их описания используются следующие виды непрерывных распределений:

Экспоненциальное распределение

Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром > 0, если ее плотность имеет вид:

функция распределения:

Преобразование Лапласа для экспоненциальной случайной величины имеет вид:

Отсюда легко получается, что среднее значение и дисперсия равны соответственно

Для экспоненциально распределенной случайной величины
среднее равно среднеквадратичному отклонению, что является
довольно жестким условием.

Пример 5. Пусть для некоторого объекта страхования средние убытки от пожара за год оцениваются как MY = 50. Предполо­жим, что потери для данного объекта имеют экспоненциальное распределение. Так как , параметр распределения . Тогда экспоненциальное распределение убытка при пожаре на интервале [0, 150] будет графически выглядеть как на рис. 6.1 и 6.2.

Используя формулы для и , определим для этого примера вероятность предъявления требования в сумме 70 ден.

Рис. 6.1. График функции распределения вероятностей при экспоненциальном распределении убытка при пожаре со средним убытком 50 за год на интервале [0, 150].

Рис. 6.2. График плотности распределения вероятностей при экспоненциальном распределении убытка при пожаре со средним убытком 50 за год на интервале [0, 150].

ед. — . А вероятность,

что предъявленное требование будет составлять сумму не более 70 ден. ед. — .

Отметим, что, предполагая экспоненциальное распределение для потерь, мы таким образом подразумеваем возможность катастрофически больших значений убытков (нет ограничения на х сверху). Тем не менее, плотность экспоненциального распреде­ления является быстро убывающей функцией х, что делает вероятность больших значений убытков ничтожно малой. В нашем примере вероятность того, что возможные убытки превысят среднее ожидаемое значение в 1.4 раза, меньше 0.5%.

Характерная черта экспоненциального распределения — боль­шое число небольших исков и возможность редких очень больших исков, то есть оно является асимметричным и "длиннохвостым".

Распределение Парето

Случайная величина У имеет распределение Парето с пара­метрами > 0 и > 0, если ее плотность задана как

Функция распределения в этом случае задана как

Числовые характеристики для случайной величины, имеющей распределение Парето, рассчитаем, используя формулы (2.1) и (2.2). Среднее значение

видно, что этот интеграл сходится только при а > 1. В этом случае он равен

Для второго момента имеем

видно, что этот интеграл сходится только при . В этом случае он равен

Отсюда получаем выражение для дисперсии

Как отмечено выше, конечное среднее распределение Парето имеет только при , а конечную дисперсию — при . Коэффициент вариации случайной величины, имеющей распределение Парето равен . Вид­но, что коэффициент вариации всегда больше единицы. Это говорит о том, что характерная особенность распределения Парето — вероятность больших значений исков достаточно велика.

Пример 6. Для массива убытков со средним 50 и дисперсией 4000 предположим в качестве гипотетического распределения потерь распределение Парето. Первый шаг — оценка параметров распределения. Воспользуемся методом моментов для подбора значений параметров . Тогда

— система из двух уравнений относительно переменных а и А. Разрешая ее, получаем, что .

Тогда, например, на интервале [0, 150] графически это распределение выгладит, как на рис. 7.1 и 7.2.

Рис. 7.1. График функции распределения вероятностей, если убыток имеет распределение Парето со средним 50 и дисперсией 4000 на интервале {0, 150].

Для этого примера вероятность убытка размером 70 ден. ед. , а вероятность предъяв­ления убытка размером не более 70 ден. ед.

.

Распределение Парето также асимметрично, но "хвост" у него более тяжелый, чем у экспоненциального распределения, то есть вероятность больших размеров возмещений больше, чем в предыдущем случае.

Рис. 7.2. График плотности распределения вероятностей, если убыток имеет распределение Парето со средним 50 и дисперсией 4000 на интервале [0, 150].

Гамма-распределение

Случайная величина Y имеет гамма-распределение с парамет­рами и , если:

Где Г- гамма функция
Преобразование Лапласа для гамма-распределения

Отсюда, используя (2.4), находим среднее значение для случайной величины, имеющей гамма-распределение:

Пример 7. Для данных предыдущего примера (средние убытки составили 50, а дисперсия — 4000 ден. ед.) предположим теперь гамма-распределение убытков. Параметры гамма-распреде­ления можно подобрать аналогичным образом:

Тогда гамма-распределение на интервале [0, 150] будет выглядеть, как на рис. 8.1 и 8.2

Рис. 8.1. График функции распределения вероятностей при гамма-распределении убытков при пожаре для некоторого объекта страхования на интервале [0, 150].

Рис. 8.2. График плотности вероятностей при гамма-распределении убытков при пожаре для некоторого объекта страхования на интервале [0, 1501.

Для данного примера вероятность убытка размером в 70 дей. ед. приблизительно равна . Вероятность убытка размером не более 70 ден. ед — .

При плотность гамма - распределения убывает быстрее, чем плотность распределения Парето, но медленнее, чем экспо­ненциальная плотность. Это означает, что для одинакового размера убытка вероятность его возникновения при гамма - распределении больше, чем при экспоненциальном распределении, но меньше, чем при распределении Парето. При гамма - распределение отвечает ситуации, когда иски в основном сгруппированы вокруг некоторого значения, а небольшие иски возможны, но маловеро­ятны.

Бета-распределение

Непрерывная случайная величина Y имеет бета-распределение вероятностей, если ее функции распределения вероятностей и плотности вероятностей заданы как

Среднее значение и дисперсия равны, соответственно,

Квадратичное распределение

Непрерывная случайная величина У имеет квадратичное распределение вероятностей, если ее функции распределения вероятностей и плотности вероятностей заданы как

с коэффициентами a, b и с такими, что для