WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:     || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Институт математического моделирования Российской Академии Наук.

На правах рукописи.

ИВАНЧЕНКО ЕВГЕНИЙ СЕРГЕЕВИЧ.

Прецизионные модели ударных адиабат и база ТЕФИС.

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ.

Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, Член-корреспондент РАН Н.Н. Калиткин.

Москва 2008

Оглавление

Оглавление 3

Глава 1. Введение. 7

Параграф 1. Возникновение задачи. 7

Параграф 2. Методики проведения экспериментов. 8

Смещение поршня. 8

Алмазные наковальни (АН). 9

Изоэнтропическое сжатие. 10

Атомные пучки (АП). 10

Ударные сжатия. 11

Метод торможения. 12

Метод -репера [16]. 12

Метод отражения. 13

Сравнительная сжимаемость. 13

Двукратное ударное сжатие. 15

Уравнение состояния. 16

Параграф 3. Проблема анализа точности. 16

Параграф 4. Знакомство с базой ТЕФИС. 17

Глава 2. Термодинамика в базе ТЕФИС. 21

Параграф 1. Используемые модели. 21

Параграф 2. Модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной поправками. 22

Модель Томаса-Ферми. 22

Квантово-статистическая модель (КСM). 24

Решение. 28

Смеси элементов. 29

Параграф 3. Модель ионизационного равновесия. 29

Флуктуирующее микрополе 29

Модель Хольцмарка и ее уточнения. 30

Обобщенные уравнения Саха с учетом вырождения. 32

Термодинамические функции. 34

Параграф 4. Квазизонная интерполяция. 36

Глава 3. Ударные адиабаты. 40

Параграф 1. Ударные адиабаты. 40

Параграф 2. Квантово статистические ударные адиабаты. 50

Параграф 3. Расчет квантово-статистических ударных адиабат в пористых веществах. 51

Параграф 4. Оценка экспериментальных данных. 51

Параграф 5. Широкодиапазонные ударные адиабаты. 52

Параграф 6. Широкодиапазонные ударные адиабаты в пористых веществах. 56

Глава 4. Оценка экспериментальной точности. 59

Параграф 1. Введение. 59

Параграф 2. Статистическая обработка. 59

Параграф 3. Метод повышения точности. 64

Глава 5. Архитектура комплекса. 67

Параграф 1. Общая архитектура комплекса. 67

Параграф 2. База данных. 68

Выбор базы. 69

Схема базы данных. 70

Параграф 3. Пользовательский интерфейс. 73

Графический интерфейс. 73

Программный интерфейс. 77

Параграф 4. Реализации моделей. 78

Заключение. 80

Опубликованная литература. 81

Список литературы 82

Приложение. 88

  1. Введение.
  1. Возникновение задачи.

В середине прошлого столетия перед учеными было поставлено множество новых задач, одна из которых – создание ядерного оружия, что было немыслимо без математического моделирования. Эти задачи, помимо широчайшего спектра проблем так же потребовали знания о поведении веществ в условиях, где давления и температуры достигают фантастических величин. Для нахождения ответов на возникающие вопросы было построено достаточное количество моделей, большинство из которых если и были адекватны, то только в очень узком диапазоне интересующих условий. Естественно, что сами по себе все эти модели были бы бессмысленны без сравнений с экспериментами, что собственно и осуществлялось. Было проведено огромное количество экспериментальных исследований по ударным сжатиям широкого ряда различных веществ. Все это позволяло более детально понимать суть происходящих процессов.

Приобретенные знания так же позволили глубже проникнуть в суть процессов, происходящих в недрах звезд и планет. И если большинство изучаемых астрофизикой и физикой планет объектов находятся вне досягаемости человека, то, по крайней мере, один из них – Земля – это тот объект, знания о котором человечеству необходимы. И действительно, понимание процессов происходящих в недрах нашей планеты необходимы для изучения движения материков, смещений магнитных полюсов, и многого другого.

Стоит лишь добавить, что подобные условия встречаются еще и в ряде других процессов: так, при сильноточных разрядах в плотных газах или электрическом взрыве проволочек нередки температуры в 2—3 эВ и выше. Такие же температуры возникают в газах, сжатых мощными взрывчатыми веществами. Ударные волны от мощных взрывчаток в твердых телах создают давления до 10 Мбар, а при ударах космических пылинок об экраны — до 50 Мбар. Под действием лазерного излучения температуры в веществе достигают сотен эВ, а давления – десятков и сотен мегабар. На практике ударные волны в десятки и МБар используются в импульсных генераторах сильных магнитных полей и токов.

Современное изучение сложных объектов и явлений, подобных упомянутых выше, в большой мере основано на методах математического моделирования. При этом процессы в объекте описываются уравнениями магнитной гидродинамики, теплопроводности, переноса фотонов или частиц и т. п.; эти уравнения численно решаются на ЭВМ. Для правильного применения этого метода надо с хорошей точностью знать разнообразные свойства веществ, которые являются коэффициентами этих уравнений: термодинамические функции, проводимость, теплопроводность, газовую, электронную и ионную вязкости, коэффициенты диффузии разных сортов частиц, пробеги фотонов, коэффициенты обмена энергией между компонентами смеси и ряд других.



Важно заметить, что требуются широкодиапазонные данные о свойствах веществ! В принципе их следует получать экспериментальными или теоретическими методами. Однако в экстремальных состояниях эксперименты очень трудны, а строгие теории не удается создать. Поэтому свойства веществ приходится находить также методом математического моделирования, т. е. строить более или менее полные модели.

Совершенно естественно, что все эти теории и модели потребовали проведения огромного количества экспериментов для выяснения их адекватности по достаточно представительному набору контрольных экспериментов. К настоящему времени существует целый ряд моделей, с различной точностью описывающих поведение веществ в различных диапазонах [1] условий

К сожалению, для некоторых диапазонов адекватных моделей до сих пор построить не удается, а именно – для диапазонов малых давлений и температур. В этих условиях основным источником знаний были и остаются эксперименты.

Проверка адекватности является ключевым звеном методологии математического моделирования. Без такой проверки само построение модели является лишь схоластическим упражнением, не представляющим серьезного физического интереса, поскольку остается невыясненным, справедлива ли модель.

  1. Методики проведения экспериментов.

Смещение поршня.

Первые эксперименты по изучению поведения веществ в условиях высоких давлений были статическими: в них исследовалась изотермическая сжимаемость. Систематическое изучение сжимаемости твердых тел методом смещения поршня предпринял Бриджмен [1]. Исследуемое вещество помещалось в стальную трубу и сжималось вдвигаемыми в нее поршнями (для хорошего прилегания образца к стенкам использовалась пластическая «рубашка»). По смещению поршня находилось изменение объема, а по прилагаемой силе — давление.

Так были измерены сжимаемости нескольких десятков элементов и соединений до давлений 50—100 кБар и обнаружено много фазовых переходов I рода. Однако точность экспериментов была низкой: приходилось вносить большие поправки на недостаточно известную сжимаемость трубки, поршней и «рубашки» и на трение поршней. Зачастую измерения, выполненные на другой установке, давали сильно отличающиеся результаты

Позже был разработан многопуансонный метод «пояса Белла», позволивший достичь давлений 0,5 Мбар. Однако удовлетворительной точности измерений не удалось добиться.

Недавно предложен перспективный способ обработки таких экспериментов в искусственно введенных скоростных переменных [2]:

1 12

Трафики сжимаемости в переменных D (и) становятся практически прямолинейными. Это позволяет сгладить случайные ошибки методом наименьших квадратов (но, разумеется, не устраняет систематических ошибок).

Сейчас методом смещения поршня при давлениях до 10 Кбар достигнута хорошая точность и получены (для легко сжимаемых веществ) справочные данные. Это изотермы, обычно соответствующие комнатной температуре; имеются измерения и при нескольких сотнях градусов. Однако в диапазоне 10—100 Кбар точность остается невысокой, справочных данных фактически нет, а имеющимися надо пользоваться с осторожностью.

Алмазные наковальни (АН).

В последнее десятилетие при статических сжатиях удалось получить гораздо большие давления, помещая крупинку образца объемом между миниатюрными алмазными наконечниками [3]. Из-за хрупкости алмаза регулярные измерения ведут до 0,2—0,4 Мбар; но в отдельных опытах давления превышали 1 Мбар и приближались к пределу текучести алмаза (~3 Мбар).

Давление в методе АН измеряют с точностью 1—4% по сдвигу флуоресцентной линии рубинового индикатора, градуированному в ударно-волновых экспериментах. Труднее измерить плотность сжатого образца.

Существует визуальный способ — образец наблюдают в микроскоп сквозь алмаз и непосредственно измеряют его размеры. Однако из-за малых размеров образца погрешность этого способа превышает 10% при Р~1 Мбар. Кроме того, эти измерения можно начинать только с давлений ~10 кбар, когда образец хорошо заполнит «рубашку». Надо знать плотность при этом давлении, а она не всегда хорошо известна.

Гораздо лучшую точность дает определение постоянных кристаллической решетки образца с помощью рентгеновского или синхротронного излучения. Оно требует сложной аппаратуры и огромных времен экспозиции ~100 ч (увеличивать интенсивность излучения опасно, образец может нагреться). Но можно добиться очень коротких экспозиций, если регистрировать рассеянный свет в режиме счета отдельных квантов с помощью координатно-чувствительных детекторов на основе микроканальных пластин [4]. Это представляется наиболее перспективным способом постановки высокоавтоматизированного эксперимента.

Статистическую обработку данных в методе АН также целесообразно проводить в переменных (1.1). Пример обработки изотерм 5 К для водорода и дейтерия [5] приведен на При давлении 70 Кбар для водорода и 100 Кбар для дейтерия видны изломы, характерные для фазовых переходов II рода (хотя не исключена систематическая ошибка эксперимента, например измерение разных частей кривой на разных образцах). На исходных кривых заметить излом невозможно из-за разброса экспериментальных точек [6].

Метод АН наиболее перспективен для изучения сжатий до 0,5 Мбар. Он позволяет измерять изотермы до T~1000°С. Однако пока измерения проведены лишь для отдельных веществ.

Изоэнтропическое сжатие.

Практический предел статическим сжатиям ставит прочность конструкционных материалов. В описанных далее импульсных экспериментах прочность материалов не играет роли, но кратность ударного сжатия не может превышать 5—6 раз. Поэтому интересны импульсные безударные (изоэнтропические) сжатия, где оба ограничения отпадают. Нагрев вещества при этом невелик.

Изоэнтропическое сжатие удалось осуществить, заключая исследуемое вещество в металлическую капсулу и сжимая ее кумулятивным взрывом [7]. Такие эксперименты позволили сжать твердый водород примерно в 20 раз при давлениях ~8 Мбар, что далеко превосходит возможности других методов.

Эти эксперименты очень трудны и вряд ли станут массовыми. Диагностика их косвенная; непосредственно измеряют лишь размер капсулы, а давление рассчитывают на основе магнитогидродинамических уравнении, описывающих взаимодействие капсулы и продуктов взрыва. Поэтому точность вычисления давлений и плотностей невелика, о ней можно судить по заметному расхождению разных обработок одних и тех же измерений.

Атомные пучки (АП).

Сильное сжатие, т. е. тесное сближение атомов, традиционными методами осуществлялось в макроскопических объемах. Однако такое же сближение легко реализуется в экспериментах по рассеянию быстрого пучка нейтральных атомов (E~1 кэВ) на газовой мишени. При углах рассеяния рад энергии парного взаимодействия составляют 0,1—10 эВ, что эквивалентно давлению вещества 1—1000 Мбар [8]. Этому методу посвящена одна из статей данного сборника.

Перечислим кратко основные идеи. Измеряя дифференциальное и интегральное сечения рассеяния, можно (решая обратную задачу рассеяния) восстановить потенциал парного взаимодействия атомов U(R). Ранее ошибка нахождения потенциала достигала 50%, что было неудовлетворительно. Недавно удалось настолько усовершенствовать эксперимент и методику его обработки, что ошибка упала до 2—5%.

Взаимодействие атомов в конденсированном веществе не является, вообще говоря, парным. Однако для атомов с замкнутыми электронными оболочками в диапазоне давлений 0,1—100 Мбар представляется разумной гипотеза ограниченной аддитивности: соседние атомы взаимодействуют с парным потенциалом u(R), а не контактирующие атомы не взаимодействуют. Тогда энергия (на атом) и давление холодного сжатия равны

3 24

где суммирование проводится по первой координационной сфере.

Кривые холодного сжатия (1.2) хорошо согласуются при давлениях 0,1—1 Мбар с измерениями методами смещения поршня и алмазных наковален, а при 100 Мбар — с наиболее надежными из теоретических моделей, описанных выше. Это подтверждает гипотезу ограниченной аддитивности и позволяет доверять найденным кривым в диапазоне 1—100 Мбар.

Правда, высказывались мнения о важной роли неаддитивности в этом диапазоне [9]. Но они были основаны на использовании устаревших данных о парных потенциалах; их большая систематическая погрешность принималась за вклад неаддитивности.

Методом атомных пучков найдены кривые холодного сжатия всех благородных газов, водорода и некоторых других газов.

Ударные сжатия.

Взрывчатые вещества создают давления до 0,5 Мбар. Разгоняя металлическую пластину продуктами взрыва, можно получить давление 5—10 Мбар при ее ударе о другое вещество. В сверхсильных взрывах достигаются давления в сотни Мбар [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16]. Однако, в отличие от статических сжатий, здесь состояния вещества лежат не на изотерме, а на ударной адиабате и характеризуются сильным нагревом.

Если измерено начальное состояние вещества, скорость распространения ударной волны D и массовая скорость вещества за фронтом волны u, то из законов сохранения массы, импульса и энергии можно найти следующие параметры ударно-сжатого вещества:

5 36

т.е. получить одну точку ударной адиабаты.

Проводя измерения для ударных волн разной интенсивности, получают ударную адиабату. Построение этой кривой облегчается наличием эмпирической закономерности: зависимость скоростей практически прямолинейна , если отсутствуют фазовые переходы (наличие фазовых переходов II рода приводит к изломам, а I рода — к разрывам).

Скорость D измеряют непосредственно, регистрируя прохождение ударной волны через разные слои образца с помощью электро-контактных или оптических датчиков. Массовую скорость найти сложнее, для этого предложен ряд способов.

Метод торможения.

Ударник и мишень изготавливают из исследуемого вещества. Скорость полета ударника измеряют датчиками, а массовая скорость после соударения и точно равна половине скорости ударника. Этот метод основан на первых принципах и позволяет произвести абсолютные измерения ударной сжимаемости.

Метод торможения используют для изучения веществ, выбранных в качестве эталонов. Он позволил достичь давлений 5—10 Мбар для тяжелых металлов и 1—2 Мбар для легких. Точность измерения скоростей доходит до 0,5—1%, поэтому погрешность вычисления плотности по формуле (1.3) невелика при малых сжатиях, но существенно возрастает при многократных сжатиях.

Давления, получаемые в методе торможения, слишком малы и не достигают нижней границы применимости теоретических моделей. Следовательно, эти данные, несмотря на их высокую надежность, не позволяют проверить модели.

Метод -репера [16].

В исследуемое вещество запрессованы тонкие прослойки -активного вещества. Датчики регистрируют прохождение этих прослоек мимо коллимирующих щелей. Тем самым непосредственно измеряется u. Метод основан на первых принципах и применим при любых давлениях.

Этим методом проведены измерения для Al при давлениях выше 10 Мбар. Пока погрешности измерения скоростей в них составляют 2—3%, что приводит к 7—10%-ным погрешностям плотностей. Это заметно больше, чем расхождения различных теоретических моделей. Эти данные не позволяют проверить модели.

Метод отражения.

В этом методе измеряется не только скорость ударной волны, но в двух контактирующих веществах: эталона () и исследуемого (). Если известно уравнение состояния эталона, то можно, решая газодинамическую задачу распада разрыва, вычислить по этим двум скоростям величину u в образце.

Обычно для эталонного вещества неизвестно уравнение состояния, но надежно измерена (например, методом торможения) ударная адиабата. Тогда в области, близкой к ударной адиабате, строят приближенное уравнение состояния на основании модельных теоретических соображений. Если состояние эталона при распаде разрыва мало отклоняется от ударной адиабаты, эти модельные соображения приводят лишь к небольшим поправкам и можно пренебречь их неопределенностью. Когда же модельные поправки велики, то расчет скорости u становится ненадежным. Поэтому при давлениях меньше 2 Мбар этот метод обычно дает хорошие результаты, около 5 Мбар — удовлетворительные и выше 10 Мбар — плохие.

У этого метода есть разновидность — метод обратного отражения (метод разгрузки), когда ударная волна проходит из исследуемого вещества в эталонное. Частный его случай — разгрузка в вакуум; при этом регистрируется скорость разлета свободной поверхности при выходе на нее ударной волны. Для слабых волн .

Метод отражения и его варианты являются основными, используемыми для массовых измерений. На их основе созданы надежные справочные таблицы ударных адиабат для нескольких сотен веществ, сплошных и пористых, в диапазоне давлений до 1—5 Мбар [17], [18]. Однако этот диапазон непригоден для проверки моделей, хотя очень ценен для построения интерполяционных уравнении состояния.





Сравнительная сжимаемость.

Существуют измерения по методу отражения при давлениях в десятки и сотни мегабар [11], [12], [13], [14], [15], [16]; такие эксперименты называют измерениями сравнительной сжимаемости. В этих условиях модельные поправки при описанном выше традиционном способе обработке экспериментов настолько велики, что использование разных модельных уравнений состояния эталона приводит к сильно различающимся ударным адиабатам образца. Это означает, что результаты обработки фактически недостоверны, т. е. эксперименты по сравнительной сжимаемости не дают абсолютной информации об ударной адиабате образца.

Однако диапазон давлений этих экспериментов особенно ценен для сравнения моделей, тем более что точность измерения скоростей доходит до 0,5—1,0%. Поэтому был предложен новый способ интерпретации таких экспериментов — метод сравнения скоростей [2], заключающийся в следующем.

Зададим уравнения состояния обоих контактирующих веществ согласно проверяемой теоретической модели. По экспериментальной скорости волны в первом веществе и данным уравнениям состояния решим задачу распада разрыва; при этом вычислим скорость волны во втором веществе . Сравним вычисленное значение с экспериментально измеренным. Если расхождение не превышает погрешности эксперимента, то проверяемая модель не противоречит данному опыту; если заметно превышает — то противоречит.

Рисунок 1.1 Прохождение слоев ударной волной.

Такое заключение о локальной адекватности исследуемой модели (т. е. непротиворечивости данному эксперименту) основано только на первых принципах и является бесспорным.

Разумеется, локальная адекватность необходима, но недостаточна. Для каждой пары веществ надо проверить модель в широком диапазоне давлений, т. е. при разных скоростях ударных волн. Такая проверка облегчается эмпирической закономерностью [2]: для каждой пары зависимость практически линейна при отсутствии фазовых переходов. Это позволяет производить статистическую обработку экспериментальных графиков, что эквивалентно уменьшению случайной погрешности скоростей (реально до 0,3—0,7%).

Затем надо проверить модель для возможно большего набора пар веществ. Если модель не противоречит ни одному из экспериментов этой совокупности, ее можно считать адекватной в целом.

Если же модель заметно противоречит каким-то экспериментам, это позволяет либо очертить границы ее применимости, либо вообще отвергнуть эту модель.

Замечания.

  1. В методе сравнения скоростей нет эталона и образца, оба вещества равноправны. Это позволяет рекомендовать схему последовательного расположения минимум трех веществ с регистрацией скоростей Рисунок 1.1. Тогда по скорости можно вычислить и , решая задачи распада разрыва на обоих контактах. Можно делать и более длинные цепочки, не ухудшая достоверности интерпретации (при традиционном способе обработки это невозможно).
    Это позволяет из одной экспериментальной сборки получать несколько проверяемых соотношений. При уникальности подобных опытов такая экономия существенна.
  2. Метод сравнения скоростей не позволяет непосредственно найти абсолютное положение ударных адиабат в отдельных экспериментах. Но если какая-то модель оказалась адекватной в целом, то ее уравнение состояния и ударные адиабаты можно принять для описания всех экспериментов (разумеется, при экстремальных условиях).
  3. В последние годы давления 20—100 Мбар реализованы при фокусировке лазерного луча на микроскопических сборках [19]. Однако точность измерений скоростей не превышает 3—5%. Отличие же скоростей, предсказываемых разными моделями, нередко составляет 1—2%. Поэтому лазерные эксперименты пока бесполезны для проверки моделей (обратное утверждение в [20] основано на нереалистичных оценках).

Двукратное ударное сжатие.

Известно, что кратность ударного сжатия не может превышать , где — показатель политропы. Для большинства сплошных конденсированных веществ . Более высокие плотности можно получить при двукратном ударном сжатии; такие эксперименты проводят в последние годы для легко сжимаемых веществ; жидкие водород и гелий и т. п. [21], [22].

Обычно используют схему эксперимента, изображенную на Рисунок 1.1. Исследуемое легкое вещество помещают между двумя тяжелыми эталонными. В каждом слое регистрируют скорость ударной волны, последовательно проходящей все три слоя. На границе 1-2 при распаде вправо идет ударная волна, влево — волна разгрузки. Зная величины и и уравнение состояния левого эталона, можно определить состояние образца в ударной волне по методу отражения. При распаде разрыва на границе 2—3 в обе стороны идут ударные волны, и образец повторно сжимается отраженной ударной волной. Зная свойства правого эталона, можно рассчитать параметры этой ударной волны методом обратного отражения.

Метод двукратного ударного сжатия в принципе позволяет сжать конденсированное вещество в 20—30 раз. Однако этот метод использует модельные предположения о свойствах эталонов и сложные расчеты; результаты чувствительны к погрешностям измерения скоростей. Это приводит к существенному ухудшению точности. Поэтому пока данные, полученные этим методом, уступают по точности результатам статических сжатий на алмазных наковальнях и не превосходят их по степени сжатия.

Уравнение состояния.

Кривые холодного сжатия или ударные адиабаты — лишь отдельные линии в плоскости . Однако статическими методами выполняют измерения даже при сравнительно высоких температурах. Тем самым можно экспериментально получить семейство изотерм, т. е. найти уравнение состояния в диапазоне T<1500.К и P<1-ЗМбар [23]. Однако эта очень трудная работа не привлекает исследователей.

Имеются возможности для выхода за границы указанной области. Для многих веществ измерены ударные адиабаты при разных начальных плотностях (например, для сплошного вещества и порошков разной пористости). Известен метод обработки таких экспериментальных данных [24], основанный на первых принципах бел использования модельных соображений и позволяющий рассчитать уравнение состояния. В том диапазоне температур и плотностей, где выполнено достаточное количество надежных ударных измерений, это уравнение состояния будет иметь хорошую точность. Экстраполяция за пределы этой области приводит к быстрому ухудшению точности; но большой участок кривой холодного сжатия удается получить достаточно надежно.

Таким методом были построены уравнения состояния отдельных веществ [25]. К сожалению, этот способ почти не используется, несмотря на его теоретические преимущества и наличие обширного экспериментального материала в [17], [18].

  1. Проблема анализа точности.

Из сказанного выше следует, что для проверки моделей наиболее ценны следующие эксперименты. Для конденсированных газов это холодное сжатие на алмазных наковальнях и, в меньшей мере, изоэнтропическое сжатие и двукратное ударное сжатие. Для тяжелых твердых тел это эксперименты по сравнительному ударному сжатию. Наконец, это кривые холодного сжатия, полученные методом молекулярных пучков

Основной проблемой экспериментов является не только цена и сложность – но так же – я бы так сказал: неточность получаемых результатов.

Все это приводит к тому, что из-за цены и сложности невозможно несколько раз повторить один и тот же эксперимент при тех же самых условиях и, как положено, усреднить результаты, оценить точность и т.п.

Для примера на графике приведен участок ударной адиабаты для меди, с пористостью единица. Видно, что разброс экспериментальных данных огромен, и по этому облаку затруднительно что либо сказать об общем поведении кривой.

Таким образом, появляется двоякая задача – эксперименты нужны и для верификации различных моделей, но с другой стороны необходимо каким-то образом контролировать точность самих экспериментальных данных.

Для решения этой проблемы может быть предложено два основных направления:

  1. Оценка точности на основе совокупной обработки экспериментальных данных. Другими словами – статистический анализ точности эксперимента на основе массива уже имеющихся данных.
  2. Вычисление точности проведенного эксперимента на основе сверки с моделью, для которой заранее известно, что она адекватно описывает исследуемый диапазон.

Однако гораздо более выгодно использовать объединение этих подходов.

Необходимо строить метод анализа точности на основе как модельных расчетов (для тех областей в которых мало точек) так и по совокупной обработке экспериментальных данных.

Собственно отсюда вытекает постановка задачи:

Первое - нам необходимо построить модели, позволяющие с хорошей точностью описывать как можно более широкий диапазон условий.

Второе - нам нужны методы, позволяющие проводить склейку теоретически рассчитанных кривых с результатами экспериментов.

И наконец, нам необходимо создать хранилище, где могли бы храниться результаты экспериментов.

  1. Знакомство с базой ТЕФИС.

Стоит отметить, что создание подобных баз данных было важной задачей, которой уделяется серьезное внимание большинством исследователей.

Исторически впервые задачи по исследованию поведений веществ в экстремальных условиях были поставлены в США, там начиная с 1945, в лабораториях Лос Аламоса [26] начались проводиться эксперименты по ударным сжатиям.

Конечным итогом любых экспериментов является обработка полученных результатов. Изначально каждое подразделение проводило исследования, опираясь только на свои данные, что приводило к существенным различиям в характеристиках веществ, полученных разными лабораториями. И основной причиной этих разногласий были не систематические погрешности, а именно относительная узость исследуемого диапазона. Например на Рисунок 1.2 приведен участок ударной волны меди. Из предоставленных данных становится совершенно неочевидным более широкодиапазонное поведение адиабаты. Для преодоления этой проблемы в лабораториях Ливермора в 1949 под руководством Эдварда Теллера [27] была заложена база данных по теплофизическим свойствам веществ, получившая название СЕЗАМ. В эту базу вошли многолетние результаты работ Лос Аламоса [18], Ливермора [17], и лабораторий военно-морского флота САНТИЯ.

На сегодняшний день это наверняка крупнейшая база данных, но есть одна загвоздка: большая часть данных сосредоточена в закрытой части этой базы, к которой естественно мы доступа не имеем. Помимо закрытой части СЕЗАМ содержит так же и открытую часть, в которой содержится множество экспериментальных данных и огромное количество модельных предположений. Однако в открытой части содержится достаточно большое количество неточностей, и подчас даже противоречивых данных (Возможно внесенных туда специально).

 2 Участок ударной адиабаты меди. Параллельно с исследованиями в-27

Рисунок 1.2 Участок ударной адиабаты меди.

Параллельно с исследованиями в США, в СССР начиная 1946 года, в ядерном центре в Сарове (известным так же как Арзамас-16) при содействии таких выдающихся ученых как А.Д. Сахаров, Д.А. Франк-Каменецкий, Е.И. Забабахин, в своем роде лидеров новой научной дисциплины – физики высоких плотностей, были также основаны лаборатории по исследованиям поведений веществ в экстремальных состояниях. За более чем полувековую историю у нас было проведено огромное количество экспериментов. В свою очередь в Сарове, под руководством Альтшулера [28] началось создание собственного объединенного компендиума [29].

Важно заметить, что результаты работ отечественных и западных ученых не взаимоисключающие, так как разные лаборатории проводили эксперименты для разных начальных условий, для разных веществ с различными пористостями. И если принять во внимание что на сегодняшний день имеются результаты для сжатия более чем 670 веществ, то тридцать тысяч экспериментов не покажутся таким уж большим количеством.

Соответственно возникает важная задача объединения всех доступных источников в единую базу данных, специально предназначенную для упрощения их последующей обработки.

Создание подобной базы – это весьма трудоемкий проект. Одной из таких реализаций является база данных Института Теплофизики Экстремальных Состояний [30]. В эту базу уже включена большая часть данных из большинства упомянутых ранее источников. Однако при проведении сверок с последними редакциями оригинальных компендиумов выяснилось наличие пробелов в данных, ошибок и просто опечаток. Подобного рода недочеты могут влиять на результаты последующих обработок.

Ударно волновой раздел базы ТЕФИС включил в себя все доступные на сегодняшний день компендиумы, устранив недочеты базы ИТЭС, позволяя вести расчеты в широчайшем диапазоне условий для огромного количества веществ.

Для создания ударно-волнового раздела базы ТЕФИС так же широко использовалась база данных Института Теплофизики Экстремальных Состояний [30], в этом хранилище уже собрана большая часть информации из приведенных ранее источников. Однако, при проведении сверок с последними изданиями оригинальных компендиумов, выяснилось, что в базе данных ИТЭС присутствуют пробелы в данных, некоторые неточности и опечатки. При занесении данных в ТЕФИС эти недостатки были устранены. Для полного составления этого раздела в рамках этой работы потребовалось перевести несколько десятков тысяч точек из различных форматов и носителей (в том числе и бумажных [29], [31], [32] и [33]) в строго определенный формат базы данных ТЕФИС, который был разработан мною специально под эти нужды. Таким образом, на сегодняшний день в базе описано порядка 670 материалов, для которых имеется чуть больше 23000 экспериментальных точек.

Как я уже упоминал, помимо значимого раздела с экспериментальными данными, ТЕФИС включает в себя не менее важный раздел, посвященный модельным расчетам, применимым для вычисления широко ряда характеристик веществ, таких как термодинамические функций, ударные адиабаты и другие характерные кривые, а также таблицы электронно-транспортных коэффициентов. Но самое главное, это то, что ТЕФИС это единая интегрированная система, позволяющая вести расчеты, не основанные не только экспериментальных данных, но и на основе высокоточных моделей. Для этого предусмотрена интерфейсная часть, из которой возможно проводить выборку данных по различным критериям, также, предусмотрена возможность добавления новых данных, как новых материалов, так и экспериментальных данных.

В дополнение к экспериментальным данным база ТЕФИС содержит также таблицы с уровнями ионизации, необходимые для работы моделей ионизационного равновесия.

  1. Термодинамика в базе ТЕФИС.
  1. Используемые модели.

Эта глава имеет в основном справочный характер, в поверхностном изложении описывая модели, используемые в комплексе ТЕФИС для расчета термодинамики. Смысл главы – ответить на возможные вопросы о применимости результатов и об источниках термодинамических величин, используемых для построения широкодиапазонных ударных адиабат.

Как уже отмечалось во введении, до сих пор не создано математических моделей адекватно описывающих термодинамику во всем интересующем диапазоне. Существует целый арсенал математических моделей, с разной степенью адекватности позволяющие описать ту или иную область на плоскости температура-давление. Подробное сравнение этих моделей дано в [34]. Для расчета термодинамики в базе ТЕФИС нами реализован целый набор моделей.

В области, где давление сказывается сильнее температуры, нами выбрана разновидность квантово-статистической модели – модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной поправками [34], [35], [36], [37], [38], [39] и [40]. Подробнее об этой модели будет рассказано в Параграф 2.

В областях же где давление играет существенно меньшую роль, чем температура, используется усовершенствованная в [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47] при выполнении работы над диссертацией Козлитина И. А. [48] специально для ТЕФИС модель ионизационного равновесия [49], [50]. В Параграф 3 дано описание этой модели.

Гораздо сложнее дело обстоит с областью, где давление и температура играют примерно одинаковые роли – это зона так называемых квазизонных эффектов. Рассуждение об этой модели дано в Параграф 4

Схематически диапазоны применения моделей изображены на (Рисунок 2.1).

 3 Диапазоны применимости моделей в базе ТЕФИС Итак, перейдем к-28

Рисунок 2.3 Диапазоны применимости моделей в базе ТЕФИС

Итак, перейдем к описанию самих моделей.

  1. Модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной поправками.

Модель Томаса-Ферми.

Модель Томаса-Ферми (ТФ) первоначально была сформулирована для нулевой температуры, а в 1948 г. обобщена Фейнманом, Метрополисом и Теллером на произвольные температуры. Она учитывает неоднородность электронного газа в самосогласованном сферически-симметричном поле . Предполагается, что электроны образуют квазиклассический газ, фазовая плотность которого в каждой точке имеет фермиевское распределение:

7 48

Где,

9510

есть энергия электрона в самосогласованном поле. Такое предположение игнорирует оболочечную структуру связанных электронов, т.е. оно эквивалентно гипотезе о полном «размазывании» оболочек.

Интегрируя распределение (2.1) по импульсам, получим плотность электронов в данной точке ячейки:

11612

Самосогласованное поле по своему определению должно подчиняться уравнению Пуассона; поскольку заряд электрона , оно имеет вид

13 714

Граничные условия для этого уравнения принимают форму

15 816

Они обеспечивают соответственно переход самосогласованного поля в поле ядра вблизи последнего, электронейтральность атома и правильный выбор начала отсчета потенциала. Все термодинамические величины выражаются через электронную плотность. Например, давление, как и для ОЭГ,

17918

Доказано, что давление, энергия и энтропия в модели ТФ удовлетворяют всем термодинамическим соотношениям точно, несмотря на приближенный характер модели. Такие модели будем называть согласованными.

Нетрудно видеть, что (2.4)(2.5) есть задача на собственное значение для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (ОДУ-2), где собственным значением является . Она имеет единственное решение. Если вычислять его алгоритмами общего назначения, то модель ТФ окажется быстрой. Но уравнения (2.4)(2.5) имеют подобие по . Вместо давления , энергии , энтропии , температуры , объема , химического потенциала для конкретного элемента подставим в них нормированные величины

тогда из уравнений и граничных условий исчезает , т.е. они перейдут в уравнения для водорода.

Это позволило один раз рассчитать таблицы термодинамических функций для и затем пользоваться ими для любого элемента (расчеты таких таблиц провел Лэттер (1955 г.)); сами таблицы не публиковались, и были доступны лишь графики Такое вычисление интерполяцией по таблицам является сверхбыстрым алгоритмом (правда, неудобным в качестве подпрограммы из-за большого объема таблиц.

Точки, соединенные тонкими линиями, экспериментальные данные; жирные точки модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера (МХФС); кружки модель" Хартри; жирные кривые статистические модели

Представление о точности модели ТФ дает показаны теоретические и экспериментальные зависимости атомных объемов от при фиксированном давлении и нулевой температуре. Отклонение модели ТФ от эксперимента имеет две составляющие: осциллирующую по Z и монотонную. Первая связана с неучетом оболочечной структуры; вторая, гораздо бльшая, с использованием нулевого квазиклассического приближения. Величины обеих составляющих убывают с ростом давления. Теоретические оценки и экспериментальные данные показывают, что монотонная составляющая холодного давления примерно равна

191020

амплитуда осциллирующей составляющей вдвое меньше. Это означает, что при модель ТФ завышает холодное давление в среднем на 20% (для разных элементов от 10 до 30%). Заметим, что при модель ТФ дает объемы ; в этой модели не существует холодного несжатого твердого тела, что является качественным недостатком модели.

Для газоплазменного состояния картина аналогична. Правда, при ненулевых температурах нет простых оценок границ применимости модели ТФ. Для монотонной составляющей отклонения можно получить теоретическую оценку

211122

Но здесь осциллирующая составляющая может стать заметно большей, особенно при малых плотностях.

Ранее модель ТФ широко использовалась в газодинамических приложениях. Сейчас она практически вытеснена описанной ниже моделью ТФП.

Квантово-статистическая модель (КСM).

Модель ТФ недостаточно хороша не только количественно, но и качественно. В частности, в ней вещество не бывает конденсированным, ибо не учитываются обменные силы, которые в основном определяют конденсацию. Для устранения этого и других недостатков вводились разные поправки: Амальди, Дирака (модель ТФД), Вейцзеккера. Наиболее удачным оказалось одновременное введение так называемых квантовой и обменной поправок.

Модель ТФ можно формально вывести из квантово-механических уравнений Хартри заменой оператора импульсов на скаляр, что эквивалентно нулевому приближению квазиклассики. Построим более точное первое квазиклассическое приближение, причем для более полных уравнений Хартри-Фока (ХФ), учитывающих обмен.

Для этого учтем отличие оператора от скаляра в первом приближении теории возмущений по технике, развитой Д.А. Киржницем (1957 г.). Это эквивалентно разложению операторных квантово-механических выражений по степеням . Применим его к выражению свободной энергии

23 1224

где гамильтониан, оператор обмена, а взятие шпура включает интегрирование по координатам и импульсам и суммирование по проекциям спинов электронов. Ограничиваясь членами , получим квантово-статистическую свободную энергию

25 1326

Здесь и кинетический и потенциальный квазиклассические члены; их выражения совпадают с моделью ТФ. Квантовая поправка к кинетическому члену связана с отличием от скаляра. Обменная поправка получается при вычислении обменного члена из (2.9) в квазиклассическом приближении. Самосогласованный потенциал выражается через электронную плотность:

27 1428

а также связан с ней соотношением

29 1530

Химический потенциал определяется из условия нормировки

31 1632

Свободная энергия есть термодинамический потенциал относительно переменных . Формулы (2.10)-(2.13) определяют ее как функционал от электронной плотности. Минимизируя этот функционал по вариации , или, что то же самое, по вариации , получим уравнение для электронной плотности:

33 1734

Первые два члена в левой части образуют квантовую поправку к уравнению ТФ, а последний является обменным потенциалом. (При он переходит в известную обменную поправку Слэтера). Граничное условие для сферически-симметричной электронейтральной ячейки радиуса также найдем минимизацией функционала (2.10) по вариации ; оно имеет вид . Существуют также формулы для несферической атомной ячейки.

Затем, дифференцируя (2.10) по и , получим выражения давления, энтропии и энергии, точно удовлетворяющие всем термодинамическим соотношениям. Например, давление

351836

состоит из кинетического, обменного и квантового слагаемых; выражение последнего можно приближенно упростить с помощью квазиклассического соотношения (2.16).

37 1938

Такой способ построения согласованных моделей сжатого горячего вещества из функционала термодинамического потенциала, впервые проведенный Калиткиным (1968 г.), сейчас стал общепринятым.

Математически система (2.11), (2.12), (2.14) образует интегродифференциальное уравнение. Оно сводится к нелинейному очень плохо обусловленному дифференциальному уравнению 4-го порядка. С учетом краевых условий для него ставится задача на собственные значения. Численное ее решение общим методом дополненного вектора является сравнительно медленным алгоритмом; но для нее разработан и специальный быстрый алгоритм.

Численные расчеты по этой модели были проведены только для Калиткиным и Кузьминой (1969г.). Были вычислены кривые холодного сжатия выборочно для 22 элементов периодической системы в диапазоне (полные таблицы этих расчетов не публиковались). При а.е. результаты близки к модели ТФ. При малых давлениях имеются существенные отличия; в частности, в КСМ существует холодное несжатое вещество, т.е. обращается в 0 при конечном , зависящем от .

На рис.3 показаны кривые атомных объемов для КСМ при и 3-х различных давлениях. В этой модели зависимость объема от монотонная, так что она не может передать осцилляции периодической системы. Однако видно, что при кривая КСМ является хорошим осреднением осцилляций; она существенно лучше модели ТФД, учитывающей лишь обменную поправку. С повышением давления различие между этими моделями быстро уменьшается.

В описанной выше модели КСМ отсутствует подобие по ; поэтому расчеты приходится проводить для каждого элемента. Но существует другой вариант так называемая модель ТФ с квантовыми и обменными поправками (ТФП), которая основана на выделении всех поправочных членов в отдельное уравнение, она предложена Киржницем (1957 г.). Теоретически она менее совершенна, но дает почти такие же значения термодинамических величин и обладает подобием по . Для поправок к термодинамическим функциям безразмерными являются величины

Остальные величины нормируются согласно модели ТФ. Полные величины для произвольного формируются через стандартные таблицы для водорода следующим образом:

392040

Таблицы термодинамических функций ТФП для были рассчитаны Калиткиным и Кузьминой (1975 г.); они содержат таблицы модели ТФ и таблицы квантово-обменных поправок к ним.

Первые таблицы соответствуют рис.2, а представление о таблицах поправок дает рис.4. Расчет для вещества с любым по указанным таблицам с помощью подобия можно рассматривать как сверхбыстрый алгоритм.

Характер погрешности модели КСМТФП виден из рис.3. По сравнению с моделью ТФ исчезла монотонная составляющая ошибки; отсюда следует, что квантовые и обменные поправки порядка и выше уже не требуется учитывать (сравнение с моделью ТФД, где введена только обменная поправка, показывает необходимость учета квантовой поправки , хотя вклад последней в термодинамику в 2-3 раза меньше обмена). Сохранилась осциллирующая составляющая ошибки, связанная с игнорированием оболочечной структуры; при она значительно меньше монотонной составляющей. Поэтому модель КСМТФП обеспечивает хорошую точность для нулевой температуры уже при Мбар. Правда, для разреженного вещества осциллирующая составляющая превосходит монотонную, так что в плазменной области модель ТФП немногим лучше ТФ.

Благодаря своей простоте и неплохой точности вариант модели ТФП широко используется в современных газодинамических приложениях.

Решение.

Как уже отмечалось решение модели ТФП – достаточно сложная задача с вычислительной точки зрения, и для преодоления вычислительных сложностей активно используются заранее просчитанные таблицы [32] для водорода (Z=1) на заранее определенной сетке [51]. Прецизионное интерполирование табулированных значений термодинамических величин – так же достаточно важная задача для получения прецизионных ударных адиабат. Подробно методе двойного периода рассказывается в. Именно этот метод позволяет получать точные аппроксимации термодинамических величин в комплексе ТЕФИС. Так же используется подобие модели по атомарному номеру Z, что позволяет использовать заранее просчитанные таблицы для водорода для любого заранее определенного вещества.

Смеси элементов.

В предыдущих разделах этого параграфа была описана модель Томаса-Ферми с квантовой и обменной поправками исключительно для совокупности одинаковых атомов, т.е. для элемента. Пусть вещество является смесью элементов с атомными номерами весами и относительными концентрациями . Тогда в статистических моделях обычно используют приближение усредненного элемента. Считают вещество одним элементом с характеристиками

41 2142

при этом средний объем на одну тяжелую частицу, а радиус соответствующей сферы. Усредненный атомный номер (2.18) может при этом быть нецелым числом. Такое приближение позволяет пользоваться достаточно простыми уже существующими программами расчета электронных компонент.

  1. Модель ионизационного равновесия.

Флуктуирующее микрополе

Каждая заряженная частица в плазме создает вокруг себя электрическое поле. Суммарное поле всех заряженных частиц называют плазменным микрополем. Из-за хаотического движения зарядов это поле будет флуктуирующим. Микрополе определяет многие свойства плазмы: ширины спектральных линий и порогов фотоэффекта, заселенность уровней и т.п. Поэтому аккуратное нахождение функции распределения микрополя весьма важно.

Первое выражение для функции распределения микрополя получено Хольцмарком [52]. Оно использовало гипотезу невзаимодействия зарядов, что естественно при высоких температурах. Это распределение разумно согласовывалось с экспериментами по оптическим свойствам разреженной плазмы [53]. Поэтому его не подвергали сомнению. Однако оставался незамеченным серьезнейший недостаток распределения Хольцмарка. Оно имеет асимптотику при . Поэтому плотность энергии микрополя оказывается бесконечной, что физически недопустимо.

Для плотной плазмы начинает сказываться взаимодействие зарядов. Было разработано много моделей учета взаимодействия [54], [55], [56], [57], [58], [59]. Были и прямые расчеты методом молекулярной динамики [55], [56], [57], [58], [59], которые теоретики считают наиболее надежными. Однако все эти подходы также давали медленно затухающую асимптотику , т.е. бесконечную энергию микрополя.

Кроме того, все эти модели весьма сложны, а их уравнения явно неразрешимы. Они требуют трудоемких численных расчетов для каждого состава плазмы и внешних условий, а ответ имеет форму численных таблиц. Это серьезно затрудняет практическое использование таких моделей.

Единственным исключением является модель простых гармонических осцилляторов (SHO - Simple Harmonic Oscillators), разработанная для сверхплотной плазмы [59]. В ней экспоненциально затухает при и энергия поля конечна. Но эта модель во-первых неприменима к плазме меньших плотностей. Во-вторых, в формулы SHO входит пробный заряд , в окрестности которого ищется микрополе. Если , то характерная напряженность , что физически бессмысленно.

Модель Хольцмарка и ее уточнения.

Первой моделью микрополя была модель Хольцмарка [52]. В ней частицы плазмы движутся свободно и некоррелированно. Все конфигурации частиц плазмы считаются равновероятными и вносят одинаковый вклад в распределение микрополя.

В общем случае вероятность того, что напряженность электрического поля в начале координат находится в интервале , , определяется соотношением

43 2244

где - число частиц, - заряд частицы, а - вероятность реализации конфигурации, задаваемой радиус-векторами . В модели Хольцмарка все конфигурации равновероятны, поэтому , где - объем системы. Без ограничения общности можно выбрать Тогда для случая модели Хольцмарка (2.19) примет вид:

45 2346

Интеграл (2.20) зависит только от . Поэтому можно говорить о плотности распределения вероятности для модуля микрополя

472448

Функция вычисляется переходом к преобразованию Фурье в (2.20) и последующим выполнении обратного преобразования [53]. В итоге получается следующее выражение для :

492550

где - безразмерная напряженность поля и

51 2652

- распределение Хольцмарка.

Масштаб хольцмарковского микрополя вычисляется следующим образом:

532754

где

55 2856

- хольцмаковский заряд. Здесь - межчастичное расстояние, - заряд частиц - того сорта, а - их концентрация. В сумму (2.25) логично включить и электроны, так как при расчете микрополя необходимо учитывать влияние всех заряженных частиц.

Традиционно считается, что приближение Хольцмарка верно для горячей разреженной плазмы. Это подтверждается оптическими экспериментами по определению спектра такой плазмы. Модель Хольцмарка дает правильную величину полуширины спектральных линий. Это значит, что район максимума микрополя передается в этой модели разумно.

Асимптотическое поведение распределения Хольцмарка при больших напряженностях микрополя неверно, так как большие поля соответствуют близким пролетам частиц, а в этом случае считать движение частиц некоррелированным и пренебрегать их взаимодействием уже нельзя. К сожалению, оптические эксперименты не позволяют выяснить правильную асимптотику распределения микрополя, так как «хвосту» распределения микрополя соответствуют «крылья» спектральных линий, форму которых определить затруднительно, поскольку они сливаются с непрерывным фоном.

Другой серьезной проблемой модели Хольцмарка является бесконечность плотности энергии. Распределение (2.23) убывает как , поэтому у него не существует второй начальный момент, соответствующий плотности энергии микрополя. Такой результат абсурден с точки зрения физики и дополнительно свидетельствует о грубой ошибочности асимптотики распределения Хольцмарка. Кроме того, бесконечность плотности энергии микрополя в этой модели не позволяет учесть энергию микрополя при описании термодинамики плазмы.

В модели Хольцмарка частицы плазмы считаются невзаимодействующими. В дальнейшем были созданы модели, которые учитывали взаимодействие частиц плазмы как между собой, так и с пробной частицей, на которой определялась напряженность микрополя. Микрополя, создаваемые электронами (электронная компонента) и ионами (ионная компонента), вычислялись по разным моделям.

При вычислении ионного микрополя для учета экранировки ионов электронами в (2.19) вместо кулоновской напряженности электрического поля использовалась производная потенциала Дебая-Хюкеля. Корреляции между движением различных ионов учитывались с помощью множителя , задающего вероятность реализации различных конфигураций частиц плазмы. При учете ион – ионных корреляций также использовались результаты теории Дебая-Хюкеля [60]. Различные модели в разной степени учитывают взаимодействие частиц плазмы с пробным зарядом и между собой. При учете межчастичного взаимодействия могут рассматриваться как лишь парные корреляции частиц, так и множественные корреляции.

Одной из последних и наиболее совершенных моделей этого типа является APEX. В ней учитывается взаимодействие частиц плазмы с пробной частицей и, в меньшей степени, взаимодействие частиц плазмы между собой. При этом учитывались не только парные, но и множественные корреляции [56], [57], [58].

Общим для всех моделей такого типа будет, очевидно, хольцмарковский предел для случая горячей разреженной плазмы. Поэтому, независимо от используемого способа учета взаимодействия, все рассмотренные модели имеют те же недостатки, что и модель Хольцмарка при применении к такой плазме.

Обобщенные уравнения Саха с учетом вырождения.

Рассмотрим плазму, состоящую из ионов различной кратности и свободных электронов, находящуюся в локальном термодинамическом равновесии. Пусть плазма образовалась из смеси - х элементов, относительные концентрации которых по числу атомов равны . При нагревании появляются - кратные ионы -ых элементов и электроны с концентрациями и (значение соответствует нейтральным атомам). Эти концентрации должны удовлетворять балансным соотношениям

57 2958

где - атомные номера элементов.

Для получения полностью согласованных выражений следует строить модель, исходя из какого-нибудь термодинамического потенциала. Если в качестве независимых переменных выбираются температура и объем, то следует использовать свободную энергию. Плазму будем считать двухтемпературной. Температуру ионов обозначим через , а электронную – через .

Среднюю свободную энергию, приходящуюся на одну атомную ячейку, представим в следующем виде [61], [62]:

59 3060

Здесь - свободная энергия электронного газа, - энергии разных сортов ионов, и - поправка на взаимодействие.

Поскольку электроны при больших плотностях могут стать вырожденными, то воспользуемся для них выражением свободной энергии идеального Ферми-газа:

613162

где

633264

есть функции Ферми-Дирака. Электронный химический потенциал связан с концентрацией электронов уравнением

653366

Атомы и ионы даже при очень больших плотностях плазмы остаются классическими. Поэтому их свободная энергия имеет вид

673468

где - атомные веса, - массы атомов, измеренные в электронных массах, а - энергии основного состояния ионов, отсчитанные от основного состояния нейтрального атома (очевидно, ), - потенциалы - кратной ионизации - того сорта частиц, - статистические суммы атомов и ионов.

Состояние равновесия соответствует минимуму свободной энергии (2.27) по всем концентрациям при условии соблюдения балансных соотношений (2.26). В результате минимизации получим следующее обобщение уравнений Саха:

69 3570

713672

733774

Здесь - снижение потенциалов ионизации, вызванное взаимодействием частиц, - дополнительные сдвиги потенциалов ионизации, вызванные обрезанием статистических сумм, - число элементов в плазменной смеси.

Термодинамические функции.

Их можно получить из термодинамического потенциала (2.26) по фундаментальным термодинамическим соотношениям в статистической физике, дифференцируя по объему и температуре. При дифференцировании надо учитывать только явную зависимость от . Существует еще косвенная зависимость через концентрации , зависящие от этих параметров; но соответствующие члены точно сокращаются, поскольку концентрации удовлетворяют уравнению (2.32).

Этим способом получаем давление в двухтемпературном случае:

75 3876

Стат-суммы зависят от только через форм-факторы (заметим, что электронное давление зависит от электронной температуры, а ионное – от ионной).

Энтропия получается из свободной энергии дифференцированием по температуре. Но температур две: и . При этом можно считать, что зависят только от ; но в некоторых моделях могут зависеть от обеих температур. Поэтому

773978

Главные члены электронной и ионной компонент зависят только от своих температур; но обусловленные взаимодействием поправки могут зависеть одновременно от обеих температур. Значения в поправке зависят от температуры через больцмановскую экспоненту.

Аналогично строится выражение для энергии:

79 4080

Здесь также главные члены зависят только от своих температур, а обе температуры могут входить только в поправку на взаимодействие.

Для горячей неплотной плазмы электроны становятся классическими, взаимодействием можно пренебречь, а . В этом случае формулы (2.35)-(2.37) переходят в следующие:

814182

  1. Квазизонная интерполяция.

В [63] проводиться детальные анализ ширины зоны адекватности для моделей КСМ и МИР. Возникает вопрос как поступать на границе этих двух моделей? Несмотря на огромное количество нерешенных проблем, можно построить уравнение состояния с учетом оболочечных и квазизонных эффектов, обеспечивающее хорошие количественные результаты в очень широком диапазоне температур и плотностей [64]. Это делается на основе моделей ИР и КСМ.

В [63] было показано, что модель КСМ хорошо описывает термодинамику вещества, если ширина квазизоны для наружного электрона ионного остова близка к его потенциалу ионизации или превышает его. Иными словами, фактор квазизонности должен быть

83 4284

Для свободных электронов потенциалы ионизации будут меньше, а фактор квазизонности больше. Квазизоны этих электронов полностью перекрываются, образуя сплошной спектр.

Заметим, что для внутренних электронов остова, особенно близких к ядру, квазизоны могут не перекрываться. Это не препятствует применимости КСМ, ибо глубокие электроны, практически не влияют на термодинамические свойства вещества.

Рисунок 2.4 Изолинии фактора квазизонности (сплошные линии) и параметра неидеальности (штриховые) для Pb. Около кривых указаны значения соответствующих величин.

На Рисунок 2.2 показаны изолинии фактора квазизонности на примере свинца. Их наклонный ход в области высоких температур означает, что модель КСМ применима, образно говоря, если плотность преобладает над температурой. При этом вещество находится в закритической области, где переход жидкость — пар является плавным, а не скачкообразным, т.е. формального различия между жидкостью и газом нет. Но по существу его следует считать конденсированным.

Заметим, что для низких температур и малых плотностей, где вещество является слабо ионизованным газом, изолинии имеют противоположный наклон. Действительно, в этих условиях оболочечные эффекты проявляются весьма четко, а модель КСМ плохо применима.

Для неплотного вещества наилучшей является модель ИР. При увеличении плотности ее точность ухудшается из-за неопределенности, вносимой теми или иными нестрогими поправками на неидеальность плазмы (достаточно строго обоснованных поправок пока не найдено). Лучшие из предложенных до сих пор поправок ориентировочно применимы при значениях параметра неидеальности

85 4386

более простые при ; а приближение идеальной плазмы при .

Изолинии , рассчитанные по методу [61], нанесены на Рисунок 2.2. Качественно они похожи на изолинии ; поэтому можно сказать, что модель ИР справедлива, если температура преобладает над плотностью (а также для низкотемпературного слабо ионизованного газа). При использовании других поправок на неидеальность качественная картина сохраняется, а изолинии для малых , соответствующих областям применимости этих поправок, практически не сдвигаются; разумеется, при больших положение изолиний зависит от вида поправки.

Видно, что области применимости моделей ИР и КСМ не перекрываются. Между ними остается неширокий коридор, в котором каждая модель позволяет производить расчеты, но дает недостаточную точность. Для заполнения этого коридора надо исследовать природу погрешности каждой модели.

Таким образом, из Рисунок 2.2 и всего вышесказанного мы можем сделать вывод, что области применимости моделей ИР и КСМ разделены нешироким коридором. Существующие расчеты таблиц термодинамических функций выполнены для большого числа веществ по обеим моделям [65], [61], причем таблицы для каждой модели составлены не только в области ее применимости, но покрывают коридор между моделями и заходят довольно далеко в область применимости другой модели. Используется стандартная сетка узлов по температуре и плотности [51], что обеспечивает точное совмещение узлов таблиц.

Возникает естественная мысль — построить гладкую интерполяцию между моделями ИР и КСМ. Очевидно, коэффициент интерполяции должен зависеть только от тех величин, которые ограничивают применимость моделей: фактора квазизонности (2.39) и параметра неидеальности (2.40). Для каждой термодинамической функции формула квазизонной интерполяции (КЗИ) приобретает вид

874488

Чтобы обеспечить правильный переход в каждую модель в области ее применимости, должно быть при , к , если одновременно и . Конкрет­ный же вид зависимости обуславливается принятыми моделями расчета ширины квазизон и учета неидеальности плазмы.



Pages:     || 2 | 3 |
 





<
 
2013 www.disus.ru - «Бесплатная научная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.